##  [Radio Circunscrito](/es/node/61837) 

 Definición

El radio de la circunferencia o esfera circunscrita que pasa por todos los vértices de un polígono o poliedro; cuando existe un circuncentro único, el radio circunscrito es la distancia desde ese centro a cualquier vértice.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

El radio circunscrito depende de la concurrencia de las mediatrices (existencia del circuncentro) y capta la escala de una configuración cíclica; en triángulos se relaciona algebraicamente con las longitudes de los lados y el área.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Un triángulo con lados a,b,c tiene radio circunscrito R = abc/(4Δ) donde Δ es el área del triángulo; un n‑gono regular con lado s tiene un radio circunscrito determinado por s y el ángulo central.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que todo polígono o poliedro tiene radio circunscrito; muchos polígonos no son cíclicos y muchos poliedros no admiten esfera que pase por todos los vértices. Confundir radio circunscrito con el radio de la bola mínima que envuelve al conjunto.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Cuando existe, el radio circunscrito fija ángulos centrales y longitudes de cuerdas y se emplea en construcciones, triangulaciones (Delaunay) y en derivar relaciones métricas entre vértices.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La noción dual es el inradio (radio inscrito) medido desde el incentro hasta los lados tangentes; reemplazar 'pasa por los vértices' por 'es tangente a las aristas' intercambia radio circunscrito por inradio.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definido solo para polígonos cíclicos y poliedros cuyos vértices son concíclicos; para conjuntos de puntos arbitrarios se considera el radio mínimo de envoltura (radio de cobertura), que no tiene por qué ser realizado por un único centro equidistante a todos los puntos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre existencia y optimalidad: el radio circunscrito exige conciclicidad exacta, mientras que el radio mínimo de envoltura ofrece una cobertura óptima aun cuando no exista una circunferencia real; ambos coinciden solo en casos especiales.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El radio circunscrito es la distancia centro‑a‑vértice de una circunferencia o esfera circunscrita cuando tal circunscripción existe; cuantifica la escala de una configuración cíclica y sustenta muchas relaciones métricas en geometría poligonal y poliedral.