## [Curvatura Gaussiana](/es/node/61830) Definición En un punto regular de una superficie suave, el producto de las dos curvaturas principales k1 y k2; una medida intrínseca de la curvatura de la superficie que depende únicamente de la primera forma fundamental y no de la inmersión en el espacio. ## Principio Principio La geometría intrínseca de una superficie determina la curvatura gaussiana: los datos métricos locales (longitudes y ángulos) fijan K, de modo que K es invariante frente a isometrías de la superficie. ## Demostración Demostración Para una esfera de radio R, k1=k2=1/R por tanto K=1/R^2; para un plano K=0; en un punto de silla como una paraboloide hiperbólico k1>0, k2<0 y K<0. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar la curvatura gaussiana como la media aritmética de las curvaturas principales o como una medida extrínseca que cambia al doblar la superficie sin estirarla; confundir convenciones de signo sin indicar la orientación. ## Consecuencia Consecuencia La curvatura gaussiana controla fenómenos geométricos locales como el comportamiento de las geodésicas, la distorsión de áreas y, mediante fórmulas integrales, invariantes topológicos globales; determina si vecindades son de tipo esférico, planas o en silla. ## Inversión Inversión Cambiar a un punto de vista extrínseco produce información como la curvatura media o curvaturas normales; la inversión del concepto conduce a cantidades que dependen de cómo se sitúa la superficie en el espacio en vez de solo de su métrica. ## Límite Límite Definida en puntos regulares (dos veces diferenciables) de una superficie bidimensional; no definida en esquinas, aristas o conjuntos no diferenciables. Para variedades de mayor dimensión se usan curvaturas seccionales o de Ricci. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay una tensión entre usos que enfatizan lo intrínseco frente a lo extrínseco; algunos textos confunden signos o definen K por las curvaturas principales mientras otros la expresan por fórmulas métricas — la tensión es entre invariante métrico sin coordenadas y medidas dependientes de la inmersión. ## Síntesis Síntesis La curvatura gaussiana es el escalar intrínseco formado por el producto de las curvaturas principales en un punto liso; resume el doblado métrico local y predice si las vecindades son localmente esféricas, planas o en forma de silla.