## [Área](/es/node/61821) Definición La medida bidimensional del tamaño de una región en un plano, normalmente dada como el valor de una integral de Lebesgue o Riemann sobre esa región y expresada en unidades cuadradas. ## Principio Principio El área se calcula descomponiendo una región en elementos infinitesimales y sumando sus medidas; para regiones suaves esto equivale a integrar el elemento de área inducido por la métrica plana. ## Demostración Demostración Un círculo de radio r tiene área πr², obtenida integrando el elemento radial o tomando el límite de las áreas de polígonos inscritos cuando el número de lados tiende a infinito. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir área con perímetro (tomar la longitud de la frontera como área) o aplicar una fórmula de área plana directamente a una superficie curva en el espacio tridimensional sin tener en cuenta la métrica de la superficie. ## Consecuencia Consecuencia Cuando el área está correctamente definida y calculada, determina magnitudes proporcionales al tamaño como masa con densidad uniforme, probabilidad planar y densidades integrales sobre regiones. ## Inversión Inversión En lugar de medir la extensión interior (área), medir únicamente la longitud unidimensional de la frontera; esto invierte el foco desde el contenido bidimensional hacia la medida unidimensional. ## Límite Límite Se aplica a subconjuntos de una variedad bidimensional provista de una métrica o medida; conjuntos patológicos (ciertos conjuntos no medibles, algunos fractales) requieren precaución en teoría de la medida y pueden no poseer área clásica. ## Tensión semántica Tensión semántica Área puede usarse informalmente como 'extensión' o formalmente como medida; esto compite con términos cercanos como área de superficie (medida bidimensional de una superficie embebida en 3D) y con nociones de teoría de la medida que generalizan o restringen el concepto clásico. ## Síntesis Síntesis El área es la medida bidimensional canónica del tamaño en el plano: se calcula integrando el elemento de área sobre una región, fundamenta los cálculos de densidad y probabilidad en el plano y debe distinguirse de la longitud y de las medidas de superficie.