##  [Proyección Estereográfica](/es/node/61797) 

 Definición

Aplicación conforme que envía puntos de una esfera menos un polo distinguido a puntos de un plano proyectando a lo largo de rectas que pasan por el polo; establece una biyección entre la esfera perforada y el plano.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Se proyecta desde un polo elegido: cada punto de la esfera (salvo el polo) está en una recta única que pasa por el polo y que corta el plano en un solo punto; la proyección estereográfica preserva ángulos (es conforme) y lleva círculos que no pasan por el polo a círculos en el plano.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para la esfera unidad en R^3 con polo norte N=(0,0,1), proyectar desde N sobre el plano z=0 envía (x,y,z) (z≠1) a (x/(1-z), y/(1-z)). En análisis complejo identifica la esfera de Riemann con el plano complejo extendido mediante la coordenada compleja asociada.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que la proyección estereográfica conserva áreas o longitudes (no lo hace), o aplicarla sin tratar el polo (que corresponde al infinito) produce errores; interpretarla como isometría es incorrecto.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una parametrización conforme de la esfera por el plano, convierte problemas esféricos en problemas planos y compactifica el plano añadiendo un punto en el infinito que corresponde al polo omitido.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Tiene una inversa bien definida que eleva un punto del plano a la esfera; el polo corresponde al punto en el infinito en el plano. La inversa recupera las coordenadas esféricas a partir de las planas salvo en el infinito.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida para la esfera sin el polo de proyección; para obtener una biyección con la esfera entera hay que añadir el punto en el infinito al plano. Depende de la elección del polo y del plano.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A veces se confunde con otras proyecciones esfera‑plano (p. ej. ortográfica, gnomónica, Lambert azimutal) que intercambian conformidad por conservación de área o por propiedades geodésicas; la estereográfica destaca por preservar ángulos y mapear círculos en círculos (salvo los que pasan por el polo).

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La proyección estereográfica es la correspondencia conforme entre la esfera sin un punto y el plano: proyecta a lo largo de rayos desde un polo, mapea círculos a círculos (excepto los que atraviesan el polo) e identifica el polo con el punto en el infinito.