##  [Geodésica](/es/node/61787) 

 Definición

Una curva en una variedad cuya aceleración covariante respecto a una conexión afín elegida (habitualmente la conexión de Levi-Civita de una métrica riemanniana) es nula; equivalentemente, una curva que extremiza localmente (usualmente minimiza) la longitud o la energía.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Las geodésicas son trayectorias autoparalelas de la conexión que satisfacen la ecuación geodésica (EDO de segundo orden) y aparecen como soluciones de Euler–Lagrange del funcional energía en el espacio de trayectorias; codifican el movimiento más 'recto' compatible con la conexión.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Los círculos máximos en la esfera unidad son geodésicas para la conexión de Levi-Civita inducida: cada círculo máximo tiene aceleración covariante nula y minimiza localmente la longitud entre puntos cercanos hasta el punto de corte antipodal.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que una geodésica es siempre el camino más corto global entre dos puntos — más allá del lugar de corte o en presencia de puntos conjugados puede dejar de minimizar; confundir rectas de coordenadas con geodésicas en una variedad curva sin comprobar la conexión es un error común.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las geodésicas proporcionan segmentos localmente minimizadores de distancia, definen el mapa exponencial en un punto (que lleva vectores tangentes a puntos alcanzados a lo largo de geodésicas) y determinan coordenadas normales y muchas propiedades de curvatura.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Curvas con aceleración covariante no nula son no geodésicas (sufren una fuerza o restricción); invertir la caracterización variacional conduce a curvas que maximizan otros funcionales o a trayectorias forzadas como las de partículas cargadas en campos electromagnéticos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere la elección de una conexión afín (para geodésicas métricas, típicamente la conexión de Levi-Civita); en espacios métricos sin estructura diferenciable 'geodésica' significa camino más corto pero puede no satisfacer una ecuación diferencial; excluye grafos discretos donde geodésica es el camino combinatorio más corto.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la noción diferencial (curvas autoparalelas que resuelven la ecuación geodésica) y la noción métrica (caminos más cortos): en geometría riemanniana coinciden localmente pero divergen globalmente; tensión también con rectas de coordenadas que pueden ser curvas globalmente.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una geodésica es una curva de aceleración covariante nula respecto a una conexión dada, equivalente a un extremo local de longitud o energía, que actúa como la trayectoria más 'recta' o localmente más corta y fundamenta el mapa exponencial y coordenadas normales.