## [Espacio Tangente](/es/node/61785) Definición El espacio vectorial en un punto de una variedad diferenciable formado por clases de equivalencia de curvas por ese punto (vectores velocidad) o por derivaciones en el punto; representa las direcciones de primer orden admisibles en el punto. ## Principio Principio Modelar el movimiento infinitesimal en un punto como velocidades de curvas moduladas por contacto de primer orden o como derivaciones lineales sobre germenes de funciones suaves; el espacio tangente tiene la misma dimensión que la variedad y es su aproximación lineal. ## Demostración Demostración En el polo norte de la esfera unidad S^2, el espacio tangente es el plano ortogonal al vector radio; cada curva suave que pasa por el polo determina un vector velocidad en ese plano. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar los espacios tangentes en puntos distintos como idénticos sin fijar una conexión o trivialización, o confundir el espacio tangente con el haz tangente (la colección global de todos los espacios tangentes). ## Consecuencia Consecuencia Los diferenciales de aplicaciones suaves son mapas lineales entre espacios tangentes, permitiendo la linealización de problemas no lineales; campos vectoriales asignan vectores tangentes suavemente y los tensores actúan sobre los espacios tangentes. ## Inversión Inversión Reemplazar vectores tangentes por covectores conduce al espacio cotangente de funcionales lineales; considerar espacios normales (complementos ortogonales) contrasta las direcciones tangenciales con las transversales en una subvariedad. ## Límite Límite Definido para variedades diferenciables (C^1 o mejor) o variedades suaves; no existe intrínsecamente para espacios puramente topológicos sin estructura adicional y difiere de análogos discretos o combinatorios. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre la imagen geométrica (vectores velocidad en un espacio ambiente) y la definición algebraica por derivaciones: ambas son equivalentes con estructura suave pero sugieren intuiciones distintas; tensión también con planos tangentes ambientales si la variedad está embebida. ## Síntesis Síntesis El espacio tangente en un punto es el espacio lineal de direcciones de primer orden en ese punto, realizado como clases de curvas o derivaciones, y actúa como la aproximación lineal usada por diferenciales y el análisis local.