##  [Serie de Fourier](/es/node/61690) 

 Definición

Representación de una función periódica como suma (posiblemente infinita) de senos y cosenos o exponenciales complejas cuyos coeficientes se determinan por productos internos con la base exponencial ortogonal en el círculo.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La ortogonalidad de las exponenciales en un intervalo de periodo permite obtener los coeficientes por integrales; la completitud en L2 del círculo asegura que toda función periódica de cuadrado integrable tiene una serie de Fourier que converge en L2, y hipótesis más fuertes dan convergencia puntual o uniforme.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Una función diente de sierra 2π-periódica se expande en serie de Fourier cuyas sumas parciales aproximan la función pero exhiben el fenómeno de Gibbs cerca de discontinuidades; para funciones suaves los coeficientes decaen rápidamente.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Intercambiar operaciones término a término (diferenciación, integración, multiplicación) sin verificar convergencia uniforme o condiciones de sumabilidad, o asumir convergencia puntual en todas partes a partir de datos L2 solamente.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona coeficientes espectrales que codifican el contenido frecuencial de señales periódicas, permite resolver EDPs con condiciones periódicas y ofrece herramientas prácticas para aproximación, filtrado y representación de señales.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Invertir el concepto conduce a señales no periódicas representadas por transformadas de Fourier en lugar de espectros discretos; limitarse a modos finitos da aproximaciones pasa-bajas que pierden detalles de alta frecuencia.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica a funciones periódicas o a funciones en el círculo; los modos de convergencia (puntual, uniforme, L2, distribuciónal) importan y la serie puede no converger puntualmente en discontinuidades; las funciones no periódicas requieren transformadas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre las nociones de convergencia (uniforme vs L2 vs puntual) y entre la truncación finita (aproximación) y la representación exacta por serie infinita; también tensión entre series de Fourier y transformadas/discretizaciones numéricas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Las series de Fourier descomponen funciones periódicas en modos exponenciales ortogonales cuyos coeficientes reflejan regularidad y distribución de energía, conectando el comportamiento temporal periódico con el análisis en frecuencia para teoría y cálculo.