## [Teorema de la Aplicación Abierta](/es/node/61686) Definición En espacios de Banach: todo operador lineal continuo y suprayectivo entre espacios de Banach envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos; equivalente: un operador lineal acotado y suprayectivo envía alguna vecindad del cero en el dominio a una vecindad del cero en el codominio. ## Principio Principio La suprayectividad junto con la completitud obliga a que las imágenes de vecindades contengan vecindades, de modo que el operador no puede colapsar conjuntos abiertos en conjuntos delgados de menor dimensión; la completitud es esencial para el argumento de categoría de Baire subyacente. ## Demostración Demostración Para un operador suprayectivo continuo lineal T:X→Y entre Banach existe ε>0 tal que T envía la bola unidad de X a un conjunto que contiene la bola de radio ε en Y. Esto es la base práctica del teorema de la inversa acotada: un operador lineal biyectivo y acotado entre Banach tiene inversa acotada. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar el teorema para operadores que no son suprayectivos, no lineales o entre espacios normados no completos: cualquiera de estas fallas puede invalidar la abertura. Por ejemplo, un operador suprayectivo continuo desde un espacio no completo no tiene por qué ser abierto. ## Consecuencia Consecuencia Asegura que los mapas lineales continuos suprayectivos preservan la abertura, conduce al teorema de la inversa acotada como corolario y es un resultado estructural fundamental para transferir propiedades locales mediante suryecciones lineales en análisis funcional. ## Inversión Inversión Si un operador no es abierto, puede fallar la suprayectividad o proceder de un dominio incompleto; la negación indica el colapso de vecindades y suele reflejar la falta de suprayectividad o el fallo de las hipótesis de completitud. ## Límite Límite Las hipótesis requieren linealidad, continuidad (acotamiento), suprayectividad y espacios completos (Banach) en dominio y codominio. El teorema no se aplica en general a aplicaciones no lineales ni a mapas entre espacios que no sean Banach. ## Tensión semántica Tensión semántica Relacionado estrechamente con los teoremas del gráfico cerrado y de acotación uniforme: juntos constituyen el trío fundamental de resultados estructurales en espacios de Banach, pero cada uno aborda un fenómeno distinto—apertura, clausura del gráfico y control uniforme de la norma. ## Síntesis Síntesis El teorema de la aplicación abierta afirma que operadores lineales acotados y suprayectivos entre Banach envían abiertos a abiertos; enraizado en la completitud, asegura imágenes de vecindades, fundamenta la inversa acotada y preserva la estructura topológica local bajo suryecciones lineales.