##  [Teorema del Valor Medio de Cauchy](/es/node/61677) 

 Definición

Generalización del teorema del valor medio: si f y g son continuas en [a,b] y derivables en (a,b), entonces existe c en (a,b) tal que (f(b)-f(a)) g'(c) = (g(b)-g(a)) f'(c); equivalente, existe c donde la razón de los incrementos iguala la razón de las derivadas si g'(c)≠0.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Comparar dos funciones derivables sobre el mismo intervalo produce un punto donde coinciden sus razones de tasas medias de cambio; la eliminación algebraica de una combinación lineal adecuada produce el punto de existencia.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Ejemplo: tomar f(x)=sin x y g(x)=x en [0,π]; entonces f(b)-f(a)=0 y g(b)-g(a)=π, de modo que el teorema garantiza un c donde 0·g'(c)=π f'(c), por lo que f'(c)=0 y efectivamente en c=π/2 se cumple cos(π/2)=0, concordando con la instancia concreta.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Reescribir la conclusión como f'(c)/g'(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) sin comprobar que g'(c) o g(b)-g(a) son no nulos puede conducir a divisiones por cero; aplicar el teorema cuando fallan las hipótesis (p. ej., no derivabilidad) es otro uso indebido común.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Sirve como herramienta para derivar la regla de L'Hôpital, comparar ritmos de crecimiento de funciones y establecer identidades o desigualdades que relacionan incrementos y derivadas de funciones pareadas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La existencia de un punto donde la razón de las derivadas vale cierto no implica en general una relación prescrita entre los incrementos globales; el teorema afirma existencia bajo las hipótesis dadas, no una equivalencia global inversa.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se cumple para pares de funciones reales continuas en [a,b] y derivables en (a,b). La forma de razón debe interpretarse con cautela cuando denominadores se anulan; las extensiones a funciones vectoriales requieren formulaciones adaptadas.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se relaciona con el teorema del valor medio estándar: el TVM clásico es el caso particular g(x)=x. La tensión surge al tratar la conclusión de Cauchy como una identidad puntual en lugar de una afirmación de existencia sobre algún c en (a,b).

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema del valor medio de Cauchy identifica un punto de sincronización donde los incrementos relativos de dos funciones derivables coinciden con sus tasas de cambio instantáneas relativas; generaliza el teorema del valor medio para una función y subyace a principios de comparación como la regla de L'Hôpital.