##  [Teorema del Valor Intermedio](/es/node/61666) 

 Definición

La afirmación de que una función continua con valores reales en un intervalo cerrado [a,b] alcanza todo valor entre f(a) y f(b): para cualquier v entre f(a) y f(b) existe c en [a,b] con f(c)=v.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La continuidad en un dominio conectado (un intervalo) impide saltos sobre valores intermedios; la imagen de un conjunto conectado por una aplicación continua es conectada y por tanto un intervalo que contiene todos los valores intermedios.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Si f es continua en [0,1] con f(0)=-1 y f(1)=2, entonces existe c∈[0,1] con f(c)=0; este es el argumento de existencia estándar usado en métodos de búsqueda de raíces como la bisección.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema a funciones discontinuas o a dominios desconectados; por ejemplo, una función con un salto entre a y b no tiene por qué tomar los valores intermedios.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Garantiza la existencia de ceros y soluciones intermedias y fundamenta algoritmos de localización de raíces; asegura que las imágenes de intervalos son intervalos y respalda la preservación de la conectividad por aplicaciones continuas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Existen funciones que tienen la propiedad de valores intermedios sin ser continuas (funciones de Darboux), por lo que la recíproca es falsa; la discontinuidad puede, en cambio, destruir la propiedad de valores intermedios.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere un dominio conectado (generalmente un intervalo) y continuidad en dicho dominio; no se aplica a funciones con valores en espacios no ordenados sin una noción apropiada de intermediarios y excluye sutilezas de dominios abiertos o no compactos salvo que la continuidad se extienda.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con la propiedad de Darboux: la continuidad implica la propiedad de valores intermedios, pero ésta no implica continuidad; también hay tensión con la monotonicidad, que asegura valores intermedios por la estructura de orden.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El teorema vincula la conectividad topológica y la continuidad para producir la existencia de valores intermedios: una función continua en un intervalo no puede omitir valores intermedios, permitiendo pruebas de existencia de raíces y preservando la estructura de intervalo en la imagen.