##  [Variación Acotada](/es/node/61664) 

 Definición

Una función real en un intervalo tiene variación acotada si el supremo, sobre todas las particiones finitas del intervalo, de la suma de las diferencias sucesivas en valor absoluto es finito; equivalentemente puede escribirse como la diferencia de dos funciones monótonas crecientes (descomposición de Jordan).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Cuantificar la oscilación acumulada total sumando los saltos absolutos sobre particiones; la variación total acotada controla la irregularidad, proporciona una derivada en sentido medida finita y permite la descomposición en partes monótonas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Una función por tramos monótona con un número finito de discontinuidades de salto en [a,b] tiene variación total finita igual a la suma de las diferencias absolutas en los tramos y saltos; una función continua y monótona tiene variación igual a su rango.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que variación acotada implica continuidad o diferenciabilidad en todos los puntos; algunas funciones BV tienen saltos contables y no son diferenciables en muchos puntos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Las funciones BV son integrables, admiten una medida de Radon signada finita como derivada distributiva, cumplen propiedades de compacidad en L1 (selección de Helly) y son aptas como integradores en integrales de Stieltjes y para el análisis de oscilaciones controladas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Las funciones de variación no acotada pueden oscilar arbitrariamente en cada escala de partición (por ejemplo funciones continuas con variación divergente), mostrando que BV es una regularidad restrictiva.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definida para funciones reales en intervalos (o más generalmente mediante nociones de variación para varias variables); excluye dominios de dimensión infinita sin definiciones adaptadas y no coincide con la continuidad absoluta salvo condiciones adicionales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con continuidad absoluta y regularidad Sobolev: BV admite saltos y una parte singular en la medida derivada, mientras que la continuidad absoluta implica una derivada en L1 y ausencia de componente singular.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La variación acotada refleja la finitud global de la oscilación total en un intervalo, equivalente a la descomposición de Jordan y a la existencia de una medida derivada signada finita, situando BV entre la integrabilidad simple y la continuidad absoluta.