## [Diferenciabilidad de Gâteaux](/es/node/61656) Definición Una noción más débil y direccional de diferenciabilidad: en un punto x existe la derivada direccional a lo largo de cada vector v, es decir, el límite lim_{t→0}(f(x+tv)-f(x))/t existe para todo v. Registra tasas direccionales de primer orden pero no exige en principio un único aproximante lineal acotado. ## Principio Principio La idea organizadora es la existencia puntual de límites direccionales en todas las direcciones; la linealidad o acotamiento de la aplicación v↦D_f(x)(v) pueden ser propiedades adicionales y no automáticas. La diferenciabilidad de Gâteaux capta la sensibilidad direccional más que la aproximación lineal uniforme. ## Demostración Demostración Ejemplo: f:R→R, f(x)=|x| en x=0. La derivada direccional a lo largo de cada v existe (pendientes derecha e izquierda), pero no existe un único mapa lineal que aproxime f en 0, lo que muestra la falla de Fréchet pese a la existencia de derivadas direccionales. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar la existencia de derivadas direccionales como suficiente para aplicar reglas de cálculo que requieren diferenciabilidad de Fréchet (p. ej. usar una matriz Jacobiana y estimaciones de continuidad); en contextos de dimensión infinita esto puede conducir a conclusiones erróneas sobre estabilidad o linealización. ## Consecuencia Consecuencia Si se añade la linealidad (v↦D_f(x)(v) es lineal) y la continuidad adecuada, la diferenciabilidad de Gâteaux asciende a diferenciabilidad de Fréchet. Suele ser la primera prueba en análisis funcional para estudiar la diferenciabilidad por direcciones. ## Inversión Inversión La inversa es una función diferenciable en el sentido de Fréchet (por tanto direccionalmente diferenciable) cuyas únicas derivadas direccionales podrían ocultar la propiedad de aproximación lineal uniforme; conocer todas las tasas direccionales es información más débil que conocer una derivada lineal acotada. ## Límite Límite Se define para aplicaciones sobre espacios vectoriales (a menudo normados); requiere límites a lo largo de rayos pero no exige uniformidad en v ni acotamiento del operador derivativo direccional. Excluye afirmaciones sobre control del error salvo que se suponga continuidad adicional. ## Tensión semántica Tensión semántica La tensión aparece frente a la diferenciabilidad de Fréchet y frente a nociones puntuales más débiles: Gâteaux puede existir sin estructura lineal o continua, mientras que Fréchet exige un único aproximante lineal acotado; la confusión entre ellas es una fuente común de errores. ## Síntesis Síntesis La diferenciabilidad de Gâteaux afirma la existencia de límites direccionales de primer orden en cada dirección, proporcionando tasas direccionales de cambio; con linealidad y continuidad de la aplicación direccional asciende a la derivada de Fréchet.