##  [Diferenciabilidad](/es/node/61652) 

 Definición

Propiedad de que una función admite una aproximación lineal en un punto: existe una aplicación lineal (la derivada) que aproxima los incrementos de primer orden de forma que f(x0+h)=f(x0)+Df(x0)[h]+o(‖h‖). En R esto se reduce al límite del cociente incremental.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Linealización de primer orden: el comportamiento principal del incremento es capturado por una aplicación lineal, y el resto es de orden estrictamente inferior al incremento de la entrada.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para f(x)=x^2 en R la derivada en x0 es Df(x0)=2x0 porque f(x0+h)-f(x0)=2x0 h + h^2 y el término h^2 es o(h). La función valor absoluto |x| no es diferenciable en 0 porque los cocientes incrementales laterales difieren.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que diferenciabilidad equivale a continuidad (la diferenciabilidad implica continuidad pero no al revés), o inferir diferenciabilidad en un entorno a partir de datos en un conjunto denso: la diferenciabilidad puntual no tiene por qué extenderse a una vecindad.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

La diferenciabilidad proporciona aproximaciones lineales, la regla de la cadena y el teorema del valor medio bajo hipótesis suaves; la mayor regularidad (C^k, suavidad) resulta de la existencia de derivadas sucesivas. En dimensiones finitas permite aproximaciones locales por aplicaciones tangentes.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La no diferenciabilidad se da cuando no existe ninguna aplicación lineal que proporcione la aproximación de primer orden requerida a pesar de la posible continuidad. Esquinas, cúspides y ciertos gráficos fractales son continuos pero no diferenciables.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Existen nociones diferentes: diferenciabilidad de Fréchet en espacios de Banach, diferenciabilidad de Gâteaux como concepto direccional más débil, y la derivada clásica en variable real. La diferenciabilidad estándar requiere estructura lineal y entorno normado.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión con suavidad y analiticidad: la diferenciabilidad (existencia de una derivada) no implica necesariamente suavidad (existencia de todas las derivadas) ni analiticidad (serie de potencias); estas son nociones estrictamente más fuertes.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La diferenciabilidad exige que una función tenga la mejor aproximación lineal de primer orden en un punto; refuerza la continuidad con un modelo lineal local y constituye la base de las reglas del cálculo y de las técnicas de linealización.