## [Continuidad Uniforme](/es/node/61648) Definición Versión global de la continuidad: una función f en un dominio D es uniformemente continua si para todo ε>0 existe un único δ>0 tal que para todos x,y∈D, d(x,y)<δ implica d(f(x),f(y))<ε. Lo esencial es que δ depende solo de ε y no del punto. ## Principio Principio Una única tolerancia de entrada controla las salidas de forma uniforme en todo el dominio; el mismo tamaño de vecindario basta en cualquier punto para garantizar la tolerancia prescrita en salida. ## Demostración Demostración La función f(x)=x en R es uniformemente continua porque |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|=|x-y|<ε con δ=ε. En cambio f(x)=x^2 en R es continua pero no uniformemente continua: hacia el infinito pequeños cambios de entrada pueden producir grandes cambios de salida. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que toda función continua en cualquier dominio es uniformemente continua; pasar por alto la geometría del dominio (por ejemplo, la continuidad en un conjunto compacto implica continuidad uniforme, pero no en dominios no acotados). ## Consecuencia Consecuencia Las funciones uniformemente continuas llevan sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy y son estables por límites uniformes; en dominios completos una función uniformemente continua se extiende de forma única y continua al cierre si el codominio es completo. ## Inversión Inversión La continuidad puntual (no uniforme) permite que el δ necesario disminuya con el punto; la inversión subraya funciones para las que no existe un δ único que funcione en todos los puntos, aunque cada punto tenga su δ(ε,x). ## Límite Límite Depende de la estructura global del dominio y de una métrica o estructura uniforme; la continuidad uniforme es una propiedad global y también puede definirse en espacios uniformes. Las versiones locales son más débiles. ## Tensión semántica Tensión semántica Se contrapone con frecuencia a la continuidad de Lipschitz: Lipschitz es más fuerte (control lineal) mientras que la continuidad uniforme solo exige un δ(ε) uniforme; también se confunde con la continuidad en conjuntos compactos, donde coinciden. ## Síntesis Síntesis La continuidad uniforme exige un δ único para cada ε válido en todo el dominio; caracteriza una regularidad global que garantiza la conservación de la naturaleza de Cauchy de las sucesiones y la posibilidad de extensión continua.