## [Continuidad](/es/node/61646) Definición Propiedad de una función en un punto (o en un conjunto) según la cual cambios arbitrariamente pequeños en la entrada producen cambios arbitrariamente pequeños en la salida; formalmente, en un contexto métrico: para cada punto x0 y cada ε>0 existe δ>0 tal que d(x,x0)<δ implica d(f(x),f(x0))<ε. ## Principio Principio Control local de las salidas por las entradas: cerca de cada punto la variación de la función puede acotarse eligiendo un vecindario suficientemente pequeño determinado por el punto y la tolerancia deseada en la salida. ## Demostración Demostración La función seno en R es continua en todos los puntos: para cualquier x0 y ε>0 existe δ (que depende de x0 y ε) tal que |sin x - sin x0|<ε si |x-x0|<δ. La función escalón de Heaviside es discontinua en 0. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar la continuidad como si garantizara un control uniforme de la variación en todo el dominio (confundir continuidad puntual con continuidad uniforme) o suponer que continuidad implica acotación en dominios no compactos. ## Consecuencia Consecuencia Las funciones continuas conservan límites y conexidad, y en dominios compactos son acotadas y alcanzan máximos y mínimos. La continuidad se conserva por suma, producto y composición. ## Inversión Inversión Una función discontinua tiene al menos un punto donde cambios arbitrariamente pequeños de la entrada producen un salto u otro cambio no nulo en la salida; la discontinuidad es la negación de la condición local ε–δ. ## Límite Límite Requiere una estructura topológica o métrica para comparar «pequeñas» variaciones; las afirmaciones sobre continuidad deben especificar dominio y codominio. La noción aquí excluye, salvo indicación, formulaciones débiles como continuidad casi en todas partes. ## Tensión semántica Tensión semántica A menudo se confunde con continuidad uniforme y con diferenciabilidad: la continuidad es estrictamente más débil que esas nociones, y usar la misma palabra para variantes puntuales y globales genera ambigüedad sin aclaración. ## Síntesis Síntesis La continuidad es la condición local ε–δ que garantiza que la salida varíe arbitrariamente poco al restringir la entrada a un vecindario del punto; es la base sobre la que se construyen propiedades de regularidad más fuertes.