## [Método de la Fase Estacionaria](/es/node/61642) Definición Un método asintótico para estimar integrales con fases muy oscilatorias de la forma ∫ A(x) e^{iλ φ(x)} dx para parámetro grande λ, centrado en las contribuciones de puntos donde la derivada de la fase φ'(x) se anula (puntos estacionarios). ## Principio Principio Las contribuciones dominantes a una integral oscilatoria al aumentar la frecuencia proceden de vecindarios de puntos estacionarios de la fase; en otras regiones la oscilación rápida produce cancelación. Aproximaciones cuadráticas locales de φ cerca de los puntos estacionarios dan los términos asintóticos principales. ## Demostración Demostración Estimar I(λ)=∫_{−1}^1 e^{iλ x^2} dx para λ grande localizando el punto estacionario x=0, aproximando φ(x)=x^2 y aplicando la asintótica de la integral gaussiana para obtener I(λ) ~ e^{iπ/4} √(π/λ) como comportamiento principal. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar la fórmula de fase estacionaria cuando los puntos estacionarios son degenerados (anulación de orden superior), cuando la amplitud A tiene singularidades en el punto estacionario, o ignorar contribuciones de los extremos en intervalos finitos conduce a asintóticas incorrectas. ## Consecuencia Consecuencia Proporciona desarrollos asintóticos explícitos de orden principal para integrales oscilatorias, aclara el comportamiento gobernado por la fase en propagación de ondas y problemas espectrales, y ofrece aproximaciones eficientes en regímenes de alta frecuencia. ## Inversión Inversión En lugar de aislar vecindarios de fase estacionaria, uno podría promediar o muestrear numéricamente el integrando globalmente; esta inversión pierde la estructura asintótica analítica y suele perder precisión cuando λ→∞. ## Límite Límite Requiere fase y amplitud lisas, puntos estacionarios aislados no degenerados o degeneralidades tratadas de forma explícita, y control de los extremos; falla o necesita modificación para φ no lisa, conjuntos estacionarios densos o coalescencia de saddles. ## Tensión semántica Tensión semántica Estrechamente relacionado con el método de la pendiente más pronunciada y las asintóticas de transformadas de Fourier: la fase estacionaria enfatiza puntos estacionarios reales y cancelación oscilatoria, mientras que la pendiente más pronunciada suele emplear deformación compleja de contornos para capturar contribuciones equivalentes. ## Síntesis Síntesis El método de fase estacionaria aísla puntos estacionarios de la fase y aproxima localmente el integrando para convertir la oscilación rápida en términos principales tipo gaussiano calculables, produciendo desarrollos asintóticos fiables para parámetros de alta frecuencia.