## [Cálculo de Residuos](/es/node/61641) Definición El proceso de localizar singularidades aisladas (poles) de una función meromorfa y calcular los coeficientes (residuos) del término (z − z0)−1 en la expansión de Laurent, para usar esos residuos en la evaluación de integrales o sumas mediante el teorema de los residuos o deformaciones de contorno. ## Principio Principio Convertir el comportamiento singular local en un invariante numérico único (el residuo) que resume la contribución de un polo a integrales de contorno; los residuos se suman cuando varios singularidades quedan encerradas y se anulan en puntos analíticos. ## Demostración Demostración Para f(z)=e^z/(z^2+π^2), calcular los residuos en z = iπ y z = −iπ por expansión o usando Res(f,z0)=lim_{z→z0} (z−z0)f(z); sumar los residuos dentro de un contorno para evaluar ∮ f(z) dz = 2πi Σ Residuos. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Aplicar fórmulas de polo simple a puntos de rama o singularidades esenciales, omitir términos de polos de orden superior, o sumar residuos sin verificar la orientación y el encierro del contorno, lo que conduce a errores de signo o contribuciones faltantes. ## Consecuencia Consecuencia El cálculo correcto de residuos proporciona valores exactos de integrales de contorno, facilita la evaluación de integrales reales definidas, permite fórmulas de inversión y técnicas de suma (por ejemplo evaluar series mediante integrales complejas) y da coeficientes asintóticos locales. ## Inversión Inversión En lugar de extraer coeficientes locales de Laurent, uno podría intentar una aproximación global del integrando; esta inversión oculta la contribución local concisa de cada singularidad y complica la evaluación de integrales. ## Límite Límite Válido para funciones meromorfas con polos aislados o cuando las contribuciones de cortes de rama pueden aislarse; no se aplica directamente a singularidades esenciales sin análisis más profundo ni a funciones sin expansiones en singularidades aisladas. ## Tensión semántica Tensión semántica Cercano a la expansión en series de Laurent y la extracción de la parte principal, pero distinto de técnicas sin residuos como la deformación a direcciones de descenso más pronunciado: el cálculo de residuos enfatiza invariantes locales algebraicos mientras que los métodos asintóticos enfatizan geometría global de saddles. ## Síntesis Síntesis El cálculo de residuos reduce la estructura singular local de un integrando meromorfo a residuos numéricos cuya suma algebraica (con orientación) determina integrales de contorno y los resultados asociados de suma o inversión.