## [Convergencia Dominada](/es/node/61638) Definición El teorema y método que permiten pasar el límite dentro de una integral: si una sucesión de funciones medibles f_n converge puntowise casi en todas partes a f y existe una función integrable g con |f_n| ≤ g casi por todas partes para todo n, entonces ∫ f_n → ∫ f y f es integrable. ## Principio Principio Idea clave: una cota integrable uniforme (función dominadora) controla la oscilación y la concentración, permitiendo intercambiar límite e integral mediante el teorema de convergencia dominada; la dominación evita la fuga de masa en la límite. ## Demostración Demostración Ejemplo: tomar f_n = χ_{[0,1/n]}(x)/√x en (0,1]. Aunque f_n se concentra cerca de 0, si existe una g integrable que domine a todas las f_n entonces ∫ f_n → ∫ f; en cambio, sin tal g hay contraejemplos donde el límite de las integrales no coincide con la integral del límite. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar convergencia dominada sin una función dominadora integrable válida o cuando la convergencia no es puntowise casi en todas partes; errores comunes incluyen fiarse solo de la convergencia puntual o usar mayores no integrables. ## Consecuencia Consecuencia El uso adecuado proporciona convergencia en L1 y justifica pasar límites por integrales en análisis, probabilidad y EDPs; es una herramienta principal para establecer continuidad de construcciones dependientes de integrales. ## Inversión Inversión El teorema de convergencia monótona es complementario pero distinto: bajo monotonía (sucesión creciente de funciones no negativas) se puede pasar límites sin una g dominadora, pero monotonía y dominación son hipótesis diferentes con aplicaciones distintas. ## Límite Límite Se aplica en contextos medibles para funciones medibles y requiere una función dominadora integrable y convergencia puntowise casi en todas partes; no se aplica a límites no medibles ni a sucesiones sin cota en L1. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre convergencia dominada y convergencia uniforme: la convergencia uniforme garantiza trivialmente el intercambio de límite, pero la convergencia dominada cubre muchos casos no uniformes; también tensión con nociones de convergencia débil que no implican la convergencia de integrales de funciones no lineales. ## Síntesis Síntesis La convergencia dominada es el criterio riguroso por el que una cota integrable uniforme más la convergencia puntowise p.c. implican convergencia en L1 y permiten intercambiar límite e integral, asegurando numerosos procedimientos límite en el análisis moderno.