##  [Integración por Partes](/es/node/61634) 

 Definición

La identidad que transforma la integral de un producto de funciones en un término de contorno menos la integral de una función por la derivada de la otra: ∫ u dv = uv − ∫ v du, válida bajo condiciones apropiadas de diferenciabilidad e integrabilidad.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Es la forma integral de la regla del producto: puesto que (uv)' = u'v + uv', integrar ambos lados conduce a la fórmula de integración por partes; el método intercambia la diferenciación de un factor por la integración del otro.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para calcular ∫ ln(x) dx en (1,a), tomar u = ln(x), dv = dx. Entonces du = dx/x y v = x, obteniendo ∫ ln(x) dx = x ln(x) − ∫ x·(1/x) dx = x ln(x) − x + C.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Aplicar integración por partes sin asegurarse de que el término de contorno uv sea finito o que v y du sean integrables; la aplicación repetida sin mejorar la integrabilidad puede producir expresiones divergentes o mal definidas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Bien aplicada, la integración por partes simplifica integrales, proporciona reducciones para funciones especiales, ofrece formulaciones débiles de ecuaciones diferenciales y sustenta definiciones de derivadas en el sentido de distribuciones y espacios de Sobolev.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La perspectiva inversa es derivar la regla del producto a partir de la identidad integral, o ver la integración por partes como la integración de la derivada de un producto; omitir los términos de los extremos invierte la igualdad al introducir contribuciones límite ausentes.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere que u sea absolutamente continua (o diferenciable con derivada integrable) y que v sea una primitiva de dv con integrabilidad adecuada para que uv y ∫ v du estén definidos; no se aplica de forma ingenua a factores puramente distribucionales sin reinterpretación.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre la integración por partes como manipulación algebraica formal y su uso riguroso en espacios de derivadas débiles: en cálculo clásico los extremos y la integrabilidad son explícitos, mientras que en teoría de Sobolev la IPP se plantea como dualidad.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La integración por partes convierte una integral de producto en términos de contorno más una integral más simple usando la regla del producto; su aplicación rigurosa depende del comportamiento en los extremos y de la integrabilidad, y conecta el cálculo elemental con marcos de derivadas débiles.