##  [Convergencia Uniforme](/es/node/61627) 

 Definición

Una sucesión f_n converge uniformemente a f en un conjunto D si sup_{x∈D}|f_n(x)-f(x)| tiende a 0 cuando n→∞; la convergencia está controlada por una única cota válida para todos los puntos del dominio.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Principio de control uniforme: una cota uniforme del error punto a punto asegura un comportamiento coherente en todo el dominio y permite, bajo condiciones adecuadas, intercambiar límites con operaciones continuas.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Contraejemplo y ejemplo positivo: f_n(x)=x^n en [0,1] converge puntualmente pero no uniformemente; en cambio f_n(x)=x/(1+n) en R converge uniformemente a 0 porque sup_x|f_n(x)|=1/(1+n)→0.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Suponer que la convergencia puntual implica convergencia uniforme, o aplicar conclusiones propias de la convergencia uniforme a secuencias que no la cumplen (por ejemplo, intercambiar límite e integral sin control uniforme ni hipótesis de convergencia dominada).

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

La convergencia uniforme preserva la continuidad, permite el paso al límite bajo la integral y bajo muchas operaciones continuas, y puede controlar la convergencia de derivadas bajo hipótesis más fuertes (convergencia uniforme de derivadas, etc.).

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La convergencia puntual es la noción más débil en la que el control depende del punto; la convergencia uniforme implica convergencia puntual pero no al revés.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere una métrica o norma para definir supremos; en dominios no acotados hay que vigilar la acotación uniforme; la convergencia uniforme en compactos (convergencia compacta) es más débil que la convergencia uniforme en todo el dominio y se usa frecuentemente en análisis.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se contrasta con la convergencia en normas de espacios de funciones (por ejemplo convergencia en L^p) y con la convergencia uniforme en compactos; la tensión surge al elegir la topología apropiada en espacios funcionales (norma uniforme vs normas integrales).

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La convergencia uniforme proporciona una tasa global y uniforme de convergencia en todo el dominio: es la condición analítica que convierte la información puntual en preservación estable de la continuidad y de muchas operaciones límite.