## [Funtor de Cambio de Base](/es/node/61604) Definición Un funtor inducido por un morfismo de objetos base que transporta estructuras fibradas o parametrizadas a lo largo de ese morfismo, comúnmente realizado como imagen inversa (pullback) y a veces como operaciones de empuje que relacionan categorías sobre bases diferentes. ## Principio Principio Dado un morfismo f:B'→B entre bases, el cambio de base produce un funtor f^* (y a menudo funtores adjuntos f_* o f_!) entre las categorías de objetos parametrizados sobre B y sobre B', definido formando productos fibrados (pullbacks) o sus reemplazos universales y satisfaciendo naturalidad y compatibilidades de cambio de base. ## Demostración Demostración Para haces sobre espacios topológicos, una aplicación continua f:X→Y induce un funtor de imagen inversa f^{-1}: Sh(Y)→Sh(X) que toma un haz en Y a su imagen inversa en X; en geometría algebraica, un morfismo de esquemas produce el pullback habitual de haces cuasi-coherentes mediante el tensado con la estructura del anillo de la fuente. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir cambio de base con mera restricción de los conjuntos subyacentes o asumir que los funtores de cambio de base preservan todas las propiedades (por ejemplo, exactitud, presentación finita) sin comprobar hipótesis conduce a conclusiones incorrectas sobre la preservación de estructura. ## Consecuencia Consecuencia El cambio de base organiza cómo se comportan los datos locales o fibrados bajo mapas de bases, proporciona morfismos de comparación canónicos (mapas de cambio de base) y es esencial para descenso, compatibilidad de adjuntos y la transferencia de estructura geométrica o algebraica al variar parámetros. ## Inversión Inversión El empuje directo a lo largo del morfismo de base (f_* o f_!) va en la dirección opuesta y normalmente pierde información fibra a fibra; la adunción relaciona estas direcciones pero no son intercambiables sin hipótesis adicionales (propiedades como properness, planitud, etc.). ## Límite Límite Se aplica cuando los objetos se presentan como variables sobre una base (categorías fibradas, haces, fibrados, esquemas); no se aplica genéricamente a construcciones ajenas a la parametrización por base y requiere límites o condiciones de exactitud para que ciertas propiedades se mantengan. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre el cambio de base como pullback categórico formal y operaciones concretas como el cambio de escalares en álgebra; quien practica puede confundir el pullback geométrico con el tensado algebraico sin reconocer las condiciones necesarias de planitud o finitud. ## Síntesis Síntesis El funtor de cambio de base es la manera canónica de reparametrizar datos fibrados a lo largo de un morfismo de bases: los pullbacks dan los objetos trasladados fibra a fibra, mientras que los pushforwards y adjuntos registran cómo se ensamblan los datos globales, codificando en conjunto la compatibilidad de estructuras parametrizadas.