## [Extensión de Kan](/es/node/61602) Definición Una construcción universal que extiende un funtor a lo largo de otro funtor de la mejor manera posible, produciendo extensiones de Kan a la izquierda o a la derecha caracterizadas por propiedades universales que generalizan límites, colímites y adjuntos. ## Principio Principio La extensión de Kan de F a lo largo de J es un objeto que representa el funtor que envía Y a transformaciones naturales desde J(-,Y) compuestas con F hacia un objetivo; equivalentemente, es universal entre todas las extensiones de F a lo largo de J y organiza la existencia punto a punto mediante (co)límites cuando estos existen. ## Demostración Demostración Dada una inclusión j: D→C y un funtor F:D→E, la extensión de Kan por la izquierda Lan_j F:C→E asigna a c∈C el colímite sobre la categoría coma (j↓c) de F; por ejemplo, la extensión de Kan por la izquierda a lo largo de una inclusión suele calcular completaciones libres o adjuntos a la izquierda a la precomposición. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que toda extensión de Kan existe punto a punto sin verificar los (co)límites necesarios conduce a construcciones equivocadas; igualmente, tratar extensiones de Kan formales como fórmulas concretas en categorías carentes de los colímites requeridos es un error. ## Consecuencia Consecuencia Cuando existen, las extensiones de Kan proporcionan formas canónicas de extender funtores, generan adjuntos y expresan muchas construcciones de forma uniforme (límites, colímites, haces, extensiones de Kan), y permiten el cálculo mediante fórmulas punto a punto de (co)límites cuando procede. ## Inversión Inversión Reemplazar la extensión de Kan izquierda por la derecha invierte colímites por límites y revierte las flechas universales; la extensión de Kan derecha es la noción dual y satisface una propiedad universal análoga para conos en lugar de coconos. ## Límite Límite Las extensiones de Kan están definidas en cualquier 2-categoría pero su cálculo concreto requiere la existencia de los (co)límites pertinentes o condiciones de completitud en el objetivo; no eximen de verificar restricciones de tamaño o set-theoretic en la práctica. ## Tensión semántica Tensión semántica Hay tensión entre la existencia abstracta formal (como representable en una categoría de funtores) y las fórmulas concretas punto a punto mediante (co)límites; a menudo se confunde la caracterización universal formal con construcciones elementales más simples. ## Síntesis Síntesis Una extensión de Kan es la solución universal canónica al problema de extender un funtor a lo largo de otro; unifica muchas construcciones — adjuntos, (co)límites, haces — al expresar la extensión mediante una propiedad universal que con frecuencia es calculable punto a punto.