##  [Transformación Natural](/es/node/61592) 

 Definición

Una familia de morfismos entre dos funtores F y G con la misma categoría fuente C y la misma categoría destino D: para cada objeto X de C una componente η_X : F(X) → G(X) tal que para todo morfismo f:X→Y el cuadrado G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f) (la condición de naturalidad) conmuta.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La naturalidad exige coherencia: las aplicaciones componentes deben entrelazar las acciones de los funtores sobre morfismos, haciendo que la familia sea una transformación canónica de funtores y no una colección arbitraria de mapas por puntos.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Considere la aplicación canónica η_V:V → V** para espacios vectoriales de dimensión finita V sobre un campo k, donde V** es el doble dual. La familia {η_V} es una transformación natural del funtor identidad en Vect_k^fin al funtor doble dual porque la dualización conmuta con las transformaciones lineales y los cuadrados de naturalidad conmutan.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Declarar una colección de mapas por puntos como una transformación natural sin comprobar la conmutatividad de los cuadrados de naturalidad, o asumir que cualquier isomorfismo componente a componente produce una isomorfía natural entre funtores.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Si es válida, una transformación natural proporciona una manera canónica de comparar funtores, aporta los morfismos necesarios para definir adjuntos, límites, colímites y estructuras 2-categóricas e identifica cuándo dos funtores son isomorfos en la categoría de funtores.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Una isomorfía natural es la inversión: una transformación natural cuyas componentes son todas isomorfismos, lo que exhibe a los dos funtores como iguales hasta isomorfía coherente; la ausencia de naturalidad deja la familia como mapas puramente puntuales.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Requiere que ambos funtores compartan la misma fuente y destino y que haya componentes definidas en cada objeto; las familias definidas solo en una subclase de objetos o entre funtores con distintos destinos no son transformaciones naturales en sentido estricto.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Se diferencia de una 'familia de morfismos' arbitraria por la exigencia de naturalidad; también difiere de un isomorfismo puntual ya que la naturalidad impone compatibilidad con todos los morfismos en la categoría fuente.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Una transformación natural es una familia coherente de morfismos componentes entre dos funtores que satisface los cuadrados de naturalidad, haciendo la comparación canónica y fonctorial a lo largo de toda la categoría fuente.