## [Forma Bilineal Degenerada](/es/node/61580) Definición Una forma bilineal B: V × V → F en un espacio vectorial V sobre un cuerpo F que tiene un núcleo no trivial: existe v ≠ 0 en V tal que B(v,w)=0 para todo w en V. Equivalente a que la aplicación lineal V → V* inducida por v ↦ B(v,−) no es inyectiva. ## Principio Principio La degeneración es el fracaso del apareamiento bilineal para inducir un isomorfismo V ≅ V*; se detecta por la existencia de vectores isotrópicos (que aniquilan) y porque la matriz representativa tiene rango menor que dim V (determinante cero si la matriz es cuadrada). ## Demostración Demostración En F^2, con coordenadas (x,y), defina B((x1,y1),(x2,y2)) = x1 x2. La matriz asociada es [[1,0],[0,0]] por lo que (0,1) es no nulo y B((0,1),w)=0 para todo w; B es degenerada. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar degenerada a una forma porque no es simétrica, o porque toma cero en algunos pares concretos, sin comprobar si existe un vector no nulo que aniquile a todos los argumentos. Confundir degeneración con tener valores nulos en algunas parejas solamente. ## Consecuencia Consecuencia La presencia de un radical no trivial (el conjunto de vectores que aniquilan todo) impide invertir la forma para identificar V con su dual, altera la clasificación (por ejemplo la descomposición de Witt) y permite subespacios isotrópicos; construcciones canónicas (complementos ortogonales, determinantes, firmas) deben adaptarse o dejan de existir. ## Inversión Inversión Una forma bilineal no degenerada tiene núcleo trivial, induce un isomorfismo V → V* y su matriz representativa tiene rango completo; ningún vector no nulo se empareja a cero con todos los vectores. ## Límite Límite La definición supone una forma bilineal sobre un espacio vectorial (o módulo libre) sobre un cuerpo; sobre módulos generales, anillos sin duales, o para formas sesquilineales/Hermíticas la noción y los criterios de degeneración cambian. En dimensiones infinitas conviene distinguir el dual algebraico del dual topológico. ## Tensión semántica Tensión semántica Degenerada frente a matriz singular son conceptos próximos pero distintos: 'matriz singular' depende de la base elegida, mientras que 'forma degenerada' es invariante. Ser isotrópico (B(v,v)=0) es una noción vecina pero en general más débil que degeneración. ## Síntesis Síntesis Una forma bilineal degenerada es exactamente aquella que admite un vector no nulo que aniquila todos los argumentos; algebraicamente equivale a que la aplicación hacia el dual tiene núcleo no trivial, con consecuencias sobre invertibilidad y teoría de ortogonalidad.