## [Divisor de Cero](/es/node/61566) Definición En un anillo R, un elemento no nulo a es divisor de cero si existe un b no nulo con a·b = 0 o b·a = 0. En anillos conmutativos ambas nociones coinciden; en no conmutativos se distingue entre divisores de cero a izquierda y a derecha. ## Principio Principio Los divisores de cero miden el fallo de cancelación y obstruyen la invertibilidad: multiplicar por un divisor de cero puede aniquilar elementos no nulos, impidiendo que el elemento sea regular o unidad. ## Demostración Demostración En Z/6Z la clase de 2 es divisor de cero porque 2·3 = 0 mod 6; en el anillo de matrices 2×2 sobre un cuerpo, matrices no invertibles pueden ser divisores de cero si tienen núcleo no trivial. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que un elemento es primo o irreducible sii es divisor de cero; la primalidad y la irreducibilidad se relacionan con divisores de cero en cocientes pero son nociones distintas. ## Consecuencia Consecuencia La presencia de divisores de cero produce aniquiladores no triviales, un espectro no reducido y descomposiciones en factores directos; impide la cancelación en ecuaciones y afecta la teoría de ideales y propiedades homológicas. ## Inversión Inversión Elementos regulares (no divisores de cero) o unidades presentan el comportamiento opuesto: la multiplicación por ellos es inyectiva (o invertible), permitiendo cancelación y construcciones de localización. ## Límite Límite La definición depende de la estructura de anillo: hace falta un elemento no nulo y la existencia de un aniquilador no nulo. No se aplica tal cual a estructuras sin cero multiplicativo ni a estructuras sin multiplicación binaria; en no conmutativo la distinción izquierda/derecha es esencial. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión con la nilpotencia: todo nilpotente no nulo en un anillo conmutativo es divisor de cero, pero no todo divisor de cero es nilpotente; también tensión con la primalidad, ya que la ausencia de divisores de cero caracteriza dominios enteros. ## Síntesis Síntesis Un divisor de cero es un elemento que aniquila otros elementos no nulos por multiplicación, indicando fallo de cancelación y degeneración algebraica y geométrica en la estructura del anillo.