## [Categoricidad](/es/node/61556) Definición Una teoría T es categórica en una cardinal κ si cualesquiera dos modelos de T de cardinalidad κ son isomorfos; la categoricidad en una κ infinita es una propiedad fuerte de unicidad para modelos de ese tamaño y sustenta resultados profundos de clasificación (p. ej., el teorema de Morley para categoricidad no numerable). ## Principio Principio La unicidad de un modelo hasta isomorfismo en un tamaño especificado restringe la estructura combinatoria y algebraica de los modelos y suele forzar condiciones de estabilidad u otras propiedades de control que permiten la clasificación estructural. ## Demostración Demostración La teoría de órdenes lineales densos sin extremos es ℵ0-categórica: a isomorfismo hay exactamente un orden denso numerable sin extremos (los racionales con su orden), por lo que la teoría tiene un único modelo numerable. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la categoricidad en una cardinal implica categoricidad en otras; por ejemplo, la categoricidad numerable no implica categoricidad en cardinales no numerables, y el comportamiento categórico depende del lenguaje y la firma. ## Consecuencia Consecuencia La categoricidad conlleva fuertes consecuencias en teoría de modelos como completitud, control de los grupos de automorfismos y a menudo estabilidad; en muchos casos permite una descripción estructural completa de los modelos de la cardinalidad dada. ## Inversión Inversión Una teoría que no es categórica en κ admite múltiples modelos no isomorfos de cardinalidad κ, lo que indica diversidad de estructuras posibles y fracaso de una clasificación rígida en ese tamaño. ## Límite Límite La categoricidad se define respecto de una cardinal y un lenguaje fijos; no afirma nada sobre modelos de otras cardinalidades y puede ser sensible a expansiones o reducciones del lenguaje. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre categoricidad, completitud y modelo-completitud: la categoricidad concierne a la unicidad de modelos en un tamaño, mientras que la completitud concierne a la decisión de sentencias; una teoría puede ser completa sin ser categórica y viceversa. ## Síntesis Síntesis La categoricidad significa unicidad de modelos hasta isomorfismo en una determinada cardinalidad y, cuando se cumple, actúa como una hipótesis potente que impone regularidad estructural y posibilita teoremas de clasificación profundos.