## [Inmersión Elemental](/es/node/61550) Definición Un homomorfismo inyectivo f: M → N entre estructuras en el mismo lenguaje que preserva la verdad de toda fórmula de primer orden con parámetros de M: para toda fórmula φ(x,a) y tupla a en M, M ⊨ φ(x,a) si y solo si N ⊨ φ(f(x),f(a)). ## Principio Principio Las inmersiones elementarias son los morfismos de la teoría de modelos que respetan la satisfacción completa en primer orden: transfieren todas las propiedades y tipos de primer orden de la fuente al destino, no sólo hechos atómicos o sin cuantificadores. ## Demostración Demostración Si M es una subestructura elemental de N, escrita M ≺ N, la inclusión i: M ↪ N es una inmersión elemental; por tanto, toda fórmula con parámetros en M se cumple en M exactamente cuando se cumple en N bajo la inclusión, ejemplificando la preservación de la verdad de primer orden. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar toda homomorfismo inyectivo o inmersión entre estructuras algebraicas como elemental; muchas inmersiones naturales (por ejemplo Q ↪ R como cuerpos ordenados) no son elementales porque no preservan ciertas propiedades cuantificadas como la completitud o la existencia de límites. ## Consecuencia Consecuencia Las inmersiones elementales preservan tipos completos sobre la fuente y garantizan que las construcciones modeloteóricas (extensiones elementales, cadenas elementales) mantengan propiedades de primer orden; son centrales en argumentos de ida y vuelta y en la construcción de modelos saturados. ## Inversión Inversión Lo opuesto es una inmersión mera que no es elemental: inyecta estructura pero no preserva algunas fórmulas de primer orden, destacando la distinción entre preservación sintáctica (elemental) y una inmersión puramente algebraica o categórica. ## Límite Límite Requiere la misma firma y semántica de primer orden; no exige suryectividad (una inmersión elemental sobreyectiva es un isomorfismo elemental) y excluye nociones más débiles como la equivalencia elemental sin una aplicación testigo o la preservación sólo de fórmulas sin cuantificadores. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre inmersión elemental e isomorfismo: una inmersión elemental puede no ser sobreyectiva, por lo que puede relacionar un modelo pequeño con una subestructura elemental propia de uno mayor; a la vez es estrictamente más fuerte que la mera equivalencia elemental que carece de una inmersión explícita. ## Síntesis Síntesis Una inmersión elemental es una aplicación inyectiva entre modelos que preserva exactamente la verdad de las fórmulas de primer orden con parámetros; es la noción adecuada de inclusión estructural en teoría de modelos para transferir fórmulas, tipos y propiedades modeloteóricas.