## [Asociatividad de Potencias](/es/node/61516) Definición Propiedad de un álgebra según la cual las potencias de un solo elemento están definidas sin ambigüedad por la regla a^m a^n = a^{m+n} para todos los enteros no negativos m,n, es decir, todas las parentetizaciones de multiplicaciones repetidas del mismo elemento coinciden. ## Principio Principio Asegurar que la subálgebra generada por un elemento es asociativa para que las expresiones polinómicas en un único generador y la exponenciación estén bien definidas, pese a que el álgebra global pueda ser no asociativa. ## Demostración Demostración Las álgebras de Jordan y las alternativas son potencia-asociativas: para un a fijo las potencias definidas por distintas asociaciones coinciden, de modo que a^k queda bien definido y se pueden evaluar polinomios en a. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que la potencia-asociatividad implica asociatividad para productos de elementos distintos; la potencia-asociatividad sólo garantiza que los autoproductos asocien, no los triples mezclados de elementos diferentes. ## Consecuencia Consecuencia Permite una teoría consistente de potencias y un cálculo polinómico para elementos individuales, facilita la definición de exponenciales o polinomios mínimos si se dispone de más estructura y simplifica consideraciones espectrales. ## Inversión Inversión Sin potencia-asociatividad, diferentes parentetizaciones de a^n pueden dar resultados distintos, haciendo que la noción de a^n o de polinomios en a quede mal definida; la asociatividad plena garantiza la potencia-asociatividad pero es más fuerte. ## Límite Límite Se refiere específicamente a subálgebras monogénicas y no restringe los asociadores con entradas distintas; puede enunciarse con o sin unidad y algunas conclusiones dependen de la característica del anillo o campo. ## Tensión semántica Tensión semántica Compite con la alternatividad: la alternatividad implica potencia-asociatividad y asociatividad para dos generadores, pero la potencia-asociatividad por sí sola no obliga a la alternatividad. ## Síntesis Síntesis La potencia-asociatividad aísla la asociatividad mínima necesaria para tratar potencias y polinomios en un solo elemento de forma fiable: exige la coincidencia de todas las parentetizaciones de la autoproducción mientras permite fenómenos no asociativos más amplios.