## [Dimensión de Krull](/es/node/61499) Definición El supremo de las longitudes n de cadenas de ideales primos P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn en un anillo conmutativo (o de cerrados irreducibles en un esquema), proporcionando una medida algebraica de dimensión geométrica. ## Principio Principio Medir la dimensión por el número máximo de inclusiones estrictas de ideales primos; equivalentemente contar cadenas de cerrados irreducibles en el espectro, enlazando así nociones algebraicas y geométricas de dimensión. ## Demostración Demostración Un cuerpo tiene dimensión de Krull 0 porque su único ideal primo es (0); el anillo de polinomios k[x1,...,xn] sobre un cuerpo tiene dimensión de Krull n, correspondiente a cadenas adecuadas tras localización. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Usar la dimensión de Krull sin distinguir patologías no noetherianas (donde las alturas pueden comportarse mal) o confundir la dimensión de Krull con la dimensión de espacio vectorial de un módulo o rango sin comprobar el contexto. ## Consecuencia Consecuencia La dimensión de Krull orienta argumentos inductivos y sensibles a la dimensión en geometría algebraica y álgebra conmutativa, informa sobre profundidad e invariantes homológicos, y restringe las posibles cadenas de ideales primos y componentes irreducibles. ## Inversión Inversión En lugar del supremo de cadenas de primos, considerar dimensiones homológicas (dimensión proyectiva/global) que reflejan longitudes de resoluciones y complejidad homológica en vez de la geometría de cadenas de primos. ## Límite Límite Definida para anillos conmutativos y esquemas; en contextos no noetherianos la dimensión puede ser infinita o contraintuitiva, y la dimensión de Krull no es un invariante fino para módulos o anillos no conmutativos sin modificación. ## Tensión semántica Tensión semántica La dimensión de Krull compite con dimensiones topológicas, homológicas y combinatorias: captura el apilamiento de ideales primos (tamaño álgebra‑geométrico), mientras que las dimensiones homológicas miden la complejidad de resoluciones y la dimensión de recubrimiento la estratificación topológica. ## Síntesis Síntesis La dimensión de Krull es la longitud suprema de cadenas de ideales primos (o de cerrados irreducibles) en una estructura algebraica conmutativa, enlazando cadenas algebraicas con dimensión geométrica y guiando argumentos estructurales y homológicos, con precauciones fuera del marco no noetheriano o no conmutativo.