##  [Grado de un Polinomio](/es/node/61495) 

 Definición

El mayor exponente con coeficiente no nulo que aparece en un polinomio en una o varias indeterminadas; mide el orden algebraico del polinomio según la graduación elegida.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Determinar la potencia más alta de la(s) indeterminada(s) cuyo coeficiente no es cero, especificando si se trata de grado total, grado parcial por variable o grado ponderado.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para f(x) = 3x^4 - x + 2 sobre un cuerpo, el grado es 4 porque 3 multiplica x^4; para g(x,y)=x^2y + y^3 el grado total es 3 y el grado en x es 2.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Tratar al polinomio cero como si tuviera un grado finito no negativo (por ejemplo 0) o confundir grado total con grados parciales en el caso multivariable.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

El grado proporciona cotas sobre el número de raíces (en cuerpos algebraicamente cerrados), controla tasas de crecimiento y determina el comportamiento del término dominante en divisiones y comparaciones asintóticas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

En vez de medir el mayor exponente presente, se puede considerar el orden de anulación en un punto (visión tipo valoración) que registra la multiplicidad de la raíz y puede ser arbitrariamente grande pese a un grado formal bajo.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Definido respecto al anillo de coeficientes y la noción de grado elegida; requiere convención para el polinomio cero (habitualmente −∞) y difiere entre grado total, parcial y ponderado en polinomios multivariables.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

El grado compite con conceptos como orden de anulación o valoración: el grado es una medida combinatoria global de los exponentes, mientras que la valoración mide la nulidad local en un punto o en una colocación.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

El grado de un polinomio es el exponente máximo (o la medida ponderada/totalizada de exponentes) con coeficiente no nulo según una graduación elegida; resume la complejidad algebraica y el comportamiento del término dominante, con aclaraciones necesarias para el cero y los casos multivariables.