## [Espectro](/es/node/61491) Definición El conjunto de escalares λ para los cuales el desplazamiento T−λI del operador no es invertible; captura las propiedades espectrales completas de un operador y generaliza los valores propios a contextos no normales o de dimensión infinita. ## Principio Principio Para un operador lineal acotado en un espacio de Banach, el espectro es un subconjunto compacto no vacío del plano complejo; en dimensión infinita se descompone en espectro puntual (valores propios), continuo y residual, y satisface fórmulas del radio espectral relacionadas con la norma del operador. ## Demostración Demostración Para una matriz n×n el espectro coincide con el conjunto de raíces del polinomio característico (los valores propios). Para el desplazamiento unilateral en ℓ^2 el espectro es el disco unitario cerrado aunque no existan valores propios en el disco abierto; para operadores compactos los puntos no nulos del espectro son valores propios de multiplicidad finita que solo pueden acumularse en cero. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar siempre el espectro como el conjunto de valores propios (válido en dimensiones finitas pero engañoso en dimensiones infinitas) o ignorar las distinciones entre espectro puntual, continuo y residual al aplicar cálculo funcional o argumentos de estabilidad. ## Consecuencia Consecuencia La información espectral gobierna el cálculo funcional (definir f(T) para f holomorfas o continuas en el espectro), la evolución a largo plazo a través del espectro de generadores y estimaciones del resolvente usadas en EDPs y análisis numérico; el radio espectral acota el crecimiento de iterados. ## Inversión Inversión El conjunto resolvente es el complemento del espectro: escalares para los cuales T−λI es invertible y el resolvente (T−λI)^{-1} está definido; las propiedades analíticas del resolvente reflejan rasgos espectrales. ## Límite Límite La definición depende de la clase de operador y del espacio ambiente: las matrices en dimensión finita tienen espectro puramente puntual igual a los valores propios; en espacios de Banach o Hilbert aparecen tipos espectrales adicionales y el espectro depende de la topología y la completitud; operadores no acotados requieren consideraciones de dominio y producen espectros vinculados a autoadjuntidad u otras propiedades. ## Tensión semántica Tensión semántica Espectro versus rango numérico y versus espectro puntual: el espectro codifica la falta de invertibilidad y es estable bajo operaciones algebraicas, mientras que el rango numérico captura promedios cuadráticos y puede ser más grande o más pequeño; el espectro puntual (valores propios) es solo una componente del espectro completo en dimensión infinita. ## Síntesis Síntesis El espectro es el conjunto completo de escalares que obstruyen la invertibilidad de T−λI; generaliza los valores propios a un invariante espectral que controla el cálculo funcional, la estabilidad y el comportamiento del resolvente del operador.