## [Valor Propio](/es/node/61487) Definición Un escalar λ para el cual existe un vector no nulo v (un vector propio) tal que (T−λI)v=0 para un operador lineal T, indicando una dirección invariante salvo por el escalado λ. ## Principio Principio Los valores propios son raíces del polinomio característico de un operador en dimensión finita; a cada valor propio le corresponde un subespacio invariante de vectores no nulos y datos algebraicos como multiplicidad y posibles vectores propios generalizados en caso de matrices no diagonalizables. ## Demostración Demostración Para una matriz diagonal con entradas diagonales d1,…,dn, los valores propios son precisamente esas entradas. Una rotación en el plano puede tener valores propios complejos de módulo 1 y carecer de valores propios reales; un bloque de Jordan de tamaño k para el valor propio λ implica cadenas de vectores propios generalizados de longitud k. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir valores propios con valores singulares (magnitudes métricas) o asumir la existencia de valores propios y de una base de vectores propios en espacios de dimensión infinita sin verificar compacidad u otras propiedades espectrales; tratar la multiplicidad algebraica como igual a la multiplicidad geométrica sin comprobarlo. ## Consecuencia Consecuencia El conocimiento de los valores propios informa sobre la diagonalizabilidad, la descomposición espectral, el comportamiento a largo plazo de sistemas dinámicos lineales (p. ej. tasas de crecimiento vía e^{tA}) y invariantes como el determinante (producto de los valores propios, contando multiplicidades) y la traza (suma de los valores propios). ## Inversión Inversión Invertir el concepto produce el conjunto resolvente: escalares para los cuales (T−λI) es invertible y por tanto no existe vector propio no nulo; también existe la situación en que λ pertenece al espectro pero no es valor propio (espectro continuo o residual). ## Límite Límite En espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado todo operador tiene valores propios; sobre cuerpos no algebraicamente cerrados los valores propios pueden encontrarse en una extensión; en dimensión infinita pueden faltar valores propios aunque el espectro sea no vacío. Distinguir multiplicidad algebraica y geométrica y espectro puntual frente a aproximado. ## Tensión semántica Tensión semántica Valor propio frente a valor singular o radio espectral: los valores propios codifican direcciones invariantes algebraicamente (incluyendo orientación y fases complejas), mientras que los valores singulares miden escalas métricas invariantes ortogonalmente y el radio espectral da el módulo máximo sin describir la estructura direccional. ## Síntesis Síntesis Un valor propio es el escalar que registra una dirección no trivial de escalado invariante de un operador lineal; junto con vectores propios y vectores propios generalizados organiza la acción del operador en piezas que controlan su estructura algebraica y dinámica.