## [Traza](/es/node/61485) Definición Para un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimensión finita (o un operador de clase traza en contextos analíticos), la traza es el escalar dado por la suma de las entradas diagonales de cualquier matriz que represente el endomorfismo en una base; es invariante por similitud y equivale a la suma de los autovalores contados con multiplicidad algebraica. ## Principio Principio La traza es un funcional lineal tr: End(V) → k que satisface la propiedad cíclica tr(AB) = tr(BA), es independiente de la base y proporciona un acoplamiento no degenerado entre endomorfismos y formas en dimensiones finitas; se comporta de forma functorial respecto a sumas directas y tensores según reglas estándar. ## Demostración Demostración Para la matriz 2×2 [[a,b],[c,d]] la traza es a + d; la traza de la identidad en un espacio de dimensión n es n; las matrices nilpotentes tienen traza cero, y la traza de una proyección iguala al rango de la proyección cuando es diagonalizable con valores propios 0 y 1. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Suponer que traza cero implica nilpotencia (falso en general), tomar la suma de las diagonales sin considerar la independencia respecto de la base, o aplicar identidades de traza finito-dimensional a operadores que no son de clase traza en espacios de Hilbert infinitos. ## Consecuencia Consecuencia La traza produce caracteres de representaciones, invariantes lineales para distinguir clases de conjugación, y coeficientes de polinomios característicos (la traza es, con signo, el coeficiente de grado n−1); extendida analíticamente participa en teoremas índice e invariantes geométricos. ## Inversión Inversión El determinante es la noción dual multiplicativa: mientras la traza suma autovalores, el determinante los multiplica; centrarse en el determinante enfatiza la escala de volumen y los invariantes multiplicativos en lugar de resúmenes aditivos. ## Límite Límite La traza estándar está definida para endomorfismos de espacios vectoriales finito-dimensionales y para operadores de clase traza en análisis; sobre anillos no conmutativos o para operadores lineales de rango infinito la suma diagonal ingenua puede no existir o no ser invariante, por lo que las extensiones requieren cautela (traza de Hattori–Stallings, traza de von Neumann, etc.). ## Tensión semántica Tensión semántica La traza compite con conceptos relacionados: traza de matriz (elemental), traza categórica (dualidad abstracta) y trazas de operadores (regularidad analítica); hay que precisar si el contexto es algebraico, categórico o analítico para evitar confundir definiciones y criterios de existencia. ## Síntesis Síntesis La traza extrae el invariante aditivo canónico de un endomorfismo —la suma de autovalores o de entradas diagonales invariante por similitud— proporcionando una aplicación lineal de endomorfismos a escalares que sustenta caracteres, coeficientes polinómicos y numerosas fórmulas de índice.