## [Rango](/es/node/61484) Definición Un entero no negativo (o cardinal) que describe el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de una matriz, equivalente a la dimensión de la imagen (espacio de columnas) de una aplicación lineal; cuantifica los grados de libertad lineales efectivos del operador o la matriz. ## Principio Principio El rango equivale a la dimensión de la imagen de una transformación lineal y es invariante por cambio de base; en dimensiones finitas satisface el teorema rango–nulidad: dim(dominio) = rango + nulidad, y el rango completo caracteriza la invertibilidad de matrices cuadradas. ## Demostración Demostración Una matriz identidad 3×3 tiene rango 3; una matriz 3×3 con dos filas independientes tiene rango 2 y mapea R^3 sobre un subespacio de dimensión 2; la aplicación lineal T: R^4 → R^3 dada por una matriz 3×4 de rango 3 tiene imagen de dimensión 3 y nulidad 1. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Confundir el rango de una matriz con el rango de un tensor o rango multilineal, calcular el rango sobre el cuerpo equivocado (por ejemplo usar aritmética real cuando el problema está sobre un cuerpo finito), o asumir que el rango numérico calculado aproximadamente es igual al rango algebraico exacto sin comprobaciones de estabilidad. ## Consecuencia Consecuencia El rango determina la solvencia de sistemas lineales (un sistema tiene soluciones sujetas a condiciones de rango), la invertibilidad de matrices cuadradas (rango completo) y la dimensión de imágenes y conúcleos; también condiciona recuentos de dimensión en geometría algebraica lineal y fija el número de restricciones independientes. ## Inversión Inversión La nulidad (la dimensión del núcleo) mide la deficiencia del rango; alternativamente, se puede enfocar en la dimensión del conúcleo o corango (codimensión de la imagen), que cuantifica las restricciones no satisfechas por la imagen. ## Límite Límite Sobre anillos generales el rango puede ser ambiguo (existen varias nociones no equivalentes, como rango de Smith o rango libre); para operadores en dimensión infinita se habla de rango finito, rango infinito o índice de Fredholm en lugar de un único entero. ## Tensión semántica Tensión semántica El rango se confunde con facilidad con invariantes relacionados (rango de tensores, rango analítico, rango numérico o rango libre sobre anillos); especificar el cuerpo o anillo subyacente y si se refiere a rango de matriz/operador/tensor evita malas interpretaciones. ## Síntesis Síntesis El rango mide el tamaño de la imagen de una aplicación lineal —el número de direcciones de salida independientes— y junto con la nulidad proporciona la partición fundamental de la dimensión del dominio que rige la solvencia, la invertibilidad y el conteo de restricciones en contextos lineales.