##  [Suma Directa](/es/node/61472) 

 Definición

Una construcción que forma un nuevo objeto a partir de una familia de objetos tomando tuplas y permitiendo típicamente sólo un número finito de componentes no nulas (en el caso algebraico usual de suma directa finita), con operaciones por componentes e inyecciones desde cada sumando.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Definida como coproducto en muchas categorías algebraicas para familias finitas: un objeto ⊕_i A_i equipado con inyecciones A_j → ⊕_i A_i tal que las aplicaciones desde la suma vienen dadas de manera única especificando aplicaciones desde cada sumando y combinándolas por componentes.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Para espacios vectoriales V y W, la suma directa V ⊕ W consiste en pares (v,w) con suma y multiplicación escalar por componentes e inyecciones v↦(v,0), w↦(0,w). Para una familia indexada de módulos donde sólo finitamente muchos índices son no nulos, los elementos son tuplas de soporte finito.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Usar la notación de suma directa finita para familias infinitas sin aclarar si se refiere a la suma directa (coproducto) o al producto directo completo; suponer que la suma directa preserva productos infinitos o sucesiones exactas sin comprobar hipótesis conduce a errores.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Proporciona una forma de ensamblar objetos con soporte disjunto y de expresar descomposiciones e inclusiones canónicas. En álgebra lineal las dimensiones se suman: dim(V⊕W)=dim V + dim W para espacios de dimensión finita; en álgebra homológica da descomposiciones en bloques y divisiones controladas.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

La noción dual es el producto directo: mientras la suma directa recoge tuplas de soporte finito y es un coproducto, el producto admite tuplas arbitrarias y proyecciones. Invertir la propiedad universal intercambia inyecciones por proyecciones.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se usa típicamente para familias finitas en contextos algebraicos; para familias infinitas hay que distinguir entre suma directa (soporte finito, coproducto) y producto directo (todas las tuplas, producto). No todas las categorías tienen coproductos o sumas con la misma descripción por componentes.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

A menudo se confunde con el producto directo y con la descomposición directa interna (scindido). La tensión surge porque en casos finitos suma y producto coinciden para módulos, pero divergen para índices infinitos y en categorías sin sumas finitas.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

La suma directa es la construcción de tipo coproducto que ensambla objetos en tuplas con operaciones por componentes imponiendo soporte finito, proporcionando inyecciones canónicas y permitiendo descomposiciones con comportamiento aditivo de dimensiones.