## [Endomorfismo](/es/node/61465) Definición Un homomorfismo de un objeto sobre sí mismo en una categoría dada; preserva la estructura definitoria pero no tiene por qué ser invertible. ## Principio Principio Los endomorfismos son auto‑mapas que preservan la estructura, cerrados bajo composición y que contienen la identidad; forman un monoide (a menudo un anillo o álgebra en contextos lineales). ## Demostración Demostración Los endomorfismos lineales de un espacio vectorial V son aplicaciones lineales V→V; End(V) es un álgebra bajo suma y composición. Los endomorfismos de un anillo R son homomorfismos R→R, por ejemplo el endomorfismo de Frobenius en característica p. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Tratar toda aplicación de conjuntos como un endomorfismo sin comprobar propiedades de homomorfismo, o asumir que todo endomorfismo es invertible y por tanto un automorfismo. ## Consecuencia Consecuencia Los endomorfismos permiten iteración, teoría espectral, descomposición (p. ej. forma de Jordan) y estructuras de módulo; generan monoides y álgebras útiles en teoría de representaciones y teoría de invariantes. ## Inversión Inversión Un automorfismo invierte la relajación al exigir invertibilidad; la inversión resalta cuándo se impone estructura adicional (inversa) a un endomorfismo. ## Límite Límite Restringido a auto‑morfismos en la categoría especificada; excluye morfismos entre objetos distintos y mapas que no respeten las operaciones o relaciones elegidas. ## Tensión semántica Tensión semántica Tensión entre ver endomorfismos como ‘auto‑mapas’ (perspectiva de conjuntos) frente a homomorfismos algebraicos; olvidar las restricciones algebraicas los confunde con auto‑mapas arbitrarios. ## Síntesis Síntesis Un endomorfismo es la transformación interna a nivel de categoría de un objeto: un auto‑homomorfismo que forma un monoide bajo composición y codifica dinámica, descomposición y estructura algebraica.