## [Automorfismo](/es/node/61464) Definición Un isomorfismo de un objeto matemático sobre sí mismo que preserva la estructura algebraica o relacional especificada; es una simetría del objeto. ## Principio Principio Un automorfismo es un morfismo biyectivo f: X → X tal que se preservan todas las operaciones o relaciones que definen X; los automorfismos se componen formando un grupo bajo la composición. ## Demostración Demostración Para un grupo finito G, la conjugación por g∈G define un automorfismo interior x↦gxg^{-1}; para un espacio vectorial V, las aplicaciones lineales invertibles forman GL(V), el grupo de automorfismos lineales. ## Aplicación incorrecta Aplicación incorrecta Llamar automorfismo a cualquier biyección del conjunto subyacente sin comprobar la preservación de las operaciones (por ejemplo, una permutación aleatoria no preserva la ley de grupo). ## Consecuencia Consecuencia Identificar correctamente los automorfismos produce el grupo Aut(X), que codifica simetrías, invariantes y datos de clasificación; de ello siguen subobjetos de puntos fijos y descomposiciones en órbitas. ## Inversión Inversión Un endomorfismo no invertible (un auto‑homomorfismo que no es isomorfismo) invierte el concepto al permitir mapas que preservan la estructura sin ser biyectivos. ## Límite Límite Se aplica sólo a auto‑isomorfismos en la categoría elegida; excluye endomorfismos no invertibles y mapas entre objetos distintos; la noción depende de la categoría ambiente y su concepto de isomorfismo. ## Tensión semántica Tensión semántica Existe tensión entre ‘simetría como biyección’ y ‘preservación de la estructura’; algunos usos relajan la biyección (p. ej. simetrías aproximadas), lo que choca con la definición estricta de automorfismo. ## Síntesis Síntesis Un automorfismo es la simetría categórica de un objeto: una auto‑aplicación biyectiva y preservadora de la estructura cuya composición forma el grupo de automorfismos y que gobierna invariantes y clasificación.