##  [Homomorfismo](/es/node/61462) 

 Definición

Un homomorfismo es una aplicación entre estructuras algebraicas de la misma firma que preserva las operaciones y relaciones definitorias (por ejemplo, un homomorfismo de grupos preserva la multiplicación; una aplicación lineal preserva la suma y la multiplicación por escalares).

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Preservación de la estructura: un homomorfismo entrelaza las operaciones de modo que las fórmulas algebraicas verdaderas en la fuente se transportan al destino; núcleos e imágenes cuantifican la desviación respecto a la invertibilidad.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Una transformación lineal T: V → W satisface T(v+u)=T(v)+T(u) y T(αv)=αT(v); un homomorfismo de grupos φ:G→H satisface φ(g1g2)=φ(g1)φ(g2). Proyecciones e inclusiones en descomposiciones en suma directa son ejemplos concretos de homomorfismos.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar homomorfismo a cualquier biyección sin comprobar preservación de operaciones, o asumir que un homomorfismo se escinde (tiene sección) sin estructura adicional. Tratar mapas que preservan algunas pero no todas las operaciones como homomorfismos completos es engañoso.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Los homomorfismos permiten comparar estructuras, inducen cocientes por núcleos y organizan categorías donde objetos y morfismos determinan construcciones universales (productos, límites, adjuntos). Producen invariantes como núcleo, conúcleo e imagen que controlan propiedades de exactitud.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un mapa que invierte la estructura (antihomomorfismo) o no preserva operaciones rompe la traducción estructural; invertir un homomorfismo no invertible es imposible en la categoría sin datos extra.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Depende de la firma algebraica: debe especificarse qué se considera estructura (por ejemplo, si los homomorfismos de anillos preservan la unidad). Excluye mapas de conjuntos arbitrarios y mapas que preservan solo una propiedad derivada.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Homomorfismo vs isomorfismo: el primero no tiene por qué ser biyectivo ni invertible; homomorfismo vs incrustación: las incrustaciones son homomorfismos inyectivos que identifican estructuras como subobjetos pero pueden exigir más que un homomorfismo cualquiera.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un homomorfismo es la noción canónica de mapa respetuoso de la estructura entre objetos algebraicos: traduce operaciones y relaciones de la fuente al destino, midiendo equivalencia y posibilitando construcciones como cocientes y representaciones.