##  [Cuerpo](/es/node/61454) 

 Definición

Un anillo conmutativo con unidad en el que todo elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo; equivalentemente, los elementos no nulos forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

La regla definitoria es que los escalares no nulos son unidades, de modo que la división (excepto por cero) es universalmente posible y el álgebra lineal sobre el cuerpo se comporta bien.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Los números racionales Q, los reales R y los cuerpos finitos F_p (enteros módulo un primo p) son cuerpos; por ejemplo, en F_7 el inverso de 3 es 5 porque 3·5 = 15 ≡ 1 (mod 7).

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar cuerpo a un anillo porque muchos elementos son invertibles; por ejemplo Z no es un cuerpo aunque tenga las unidades ±1, y una localización solo es cuerpo si se invierten todas las no nulas.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Los cuerpos sirven como escalares para espacios vectoriales, determinan la característica (0 o primo p) y, en casos finitos, imponen restricciones de tamaño (potencia de un primo), permitiendo álgebra lineal y teoría de extensiones de cuerpos.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Un anillo de división no conmutativo o un dominio íntegro que carece de inversos para algunos elementos no nulos contrasta con el cuerpo: falta la conmutatividad o la invertibilidad universal.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Debe ser conmutativo y tener inversos multiplicativos para cada elemento no nulo; el anillo cero y los anillos con divisores de cero quedan excluidos.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Tensión entre 'cuerpo' y 'anillo de división' (éste prescinde de la conmutatividad), y entre el uso concreto de cuerpos como escalares y los cuerpos considerados de forma abstracta hasta isomorfismo.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un cuerpo es el entorno algebraico conmutativo canónico donde la adición y la multiplicación forman un anillo y cada elemento no nulo es invertible, proporcionando una base robusta para la división, los espacios vectoriales y la teoría de extensiones.