##  [Grupo](/es/node/61444) 

 Definición

Un conjunto provisto de una única operación binaria que es asociativa, posee un elemento identidad y en el que cada elemento tiene un inverso respecto a esa operación.

 

 

 

 

 

 





## Principio

Principio

Un grupo organiza elementos por cierre bajo una ley binaria junto con asociatividad, un elemento neutro y capacidad de invertir, habilitando la resolución de ecuaciones binarias y la descripción de simetrías reversibles.

 

 

 

 

 





## Demostración

Demostración

Los enteros Z con la suma forman un grupo: la suma es asociativa, 0 es la identidad y cada entero n tiene inverso −n; así la ecuación a+x=b se resuelve por x=b−a.

 

 

 

 

## Aplicación incorrecta

Aplicación incorrecta

Llamar grupo a una estructura cuando faltan inversos para algunos elementos (por ejemplo, los naturales bajo suma) o cuando la operación no es asociativa; tal uso oculta la ausencia de cancelación y de construcciones por inversos.

 

 

 

 

 





## Consecuencia

Consecuencia

Si una estructura es un grupo, toda ecuación a·x=b tiene solución única x=a^{-1}·b, valen las leyes de cancelación y se dispone de una teoría rica de subgrupos, cocientes, homomorfismos y acciones de grupo.

 

 

 

 

## Inversión

Inversión

Quitar la invertibilidad produce un monoide (existe identidad pero no necesariamente inversos); quitar la identidad produce un semigrupo; cambiar la asociatividad conduce a sistemas no asociativos como bucles o cuasigrupos.

 

 

 

 

 





## Límite

Límite

Se aplica solo a conjuntos con una operación binaria asociativa y inversos bilaterales para cada elemento; excluye estructuras con varias operaciones donde los axiomas de grupo se cumplen solo parcialmente, magma no asociativos y operaciones parciales.

 

 

 

 

 





## Tensión semántica

Tensión semántica

Grupo vs Grupo abeliano: un grupo puede ser no conmutativo; grupo vs monoide: el grupo exige inversos; grupo vs grupoide: un grupo tiene composición global mientras un grupoide permite composiciones parciales entre objetos distintos.

 

 

 

 

 





## Síntesis

Síntesis

Un grupo es la estructura algebraica en la que una ley asociativa, un elemento neutro y la invertibilidad universal se combinan para resolver ecuaciones binarias y formalizar simetrías y transformaciones reversibles.