## [Dünne Menge](/de/node/63235) Definition Eine Teilmenge E des euklidischen Raumes (oder des Randes eines Gebietes), die eine Wiener-ähnliche Dickheitsbedingung in einem Punkt x nicht erfüllt; das heißt, E ist in Potentialtheoretischer Hinsicht in x 'dünn' und erlaubt damit außergewöhnliches (irreguläres) Verhalten harmonischer Funktionen bei x. ## Prinzip Prinzip Wiener-artige Kriterien charakterisieren die Regularität von Randpunkten für das Dirichlet-Problem durch Messung der aggregierten Kapazität des Komplements in der Nähe des Punktes; Dünnheit zeigt eine unzureichende umgebende Masse oder Kapazität an, die die harmonische Annäherung nicht kontrolliert und so zu irregulärem Randverhalten führt. ## Demonstration Demonstration Eine schmale Spitze oder eine Folge immer kleinerer Hohlräume, die an einen Randpunkt akkumulieren, kann dazu führen, dass das Komplement die Dünnheitsbedingung in diesem Punkt erfüllt; konkrete ebene Beispiele zeigen, dass harmonische Funktionen an dünnen Punkten Randwerte nicht wie erwartet annehmen müssen. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Dünnheit mit maßtheoretischer Kleingkeit wie Lebesgue-Maß null zu verwechseln; eine Menge kann Lebesgue-Nullmaß haben und dennoch im potentialtheoretischen Sinn dick sein, oder umgekehrt positive Maßdichte und dennoch in einem Punkt dünn sein, abhängig von der Verteilung der Kapazität. ## Konsequenz Konsequenz Dünne Mengen in einem Punkt erlauben das Auftreten irregulärer Randpunkte für das Dirichlet-Problem: Harmonische Funktionen können dort keine erwarteten Randgrenzwerte besitzen, und probabilistisch kann Brown'sche Bewegung bestimmte dünne Konfigurationen mit positiver Wahrscheinlichkeit meiden. ## Umkehrung Umkehrung Eine dicke Menge (oder ein Punkt, an dem die Menge nicht dünn ist): eine Menge, die die Wiener-ähnliche Bedingung erfüllt und damit reguläres Randverhalten sowie die üblichen Schlussfolgerungen des Dirichlet-Problems in diesem Punkt sichert. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt in der Potentialtheorie für euklidische Gebiete oder riemannsche Mannigfaltigkeiten und ist eine lokale Eigenschaft in einem Punkt; sie unterscheidet sich von globalen fraktalen oder maßbezogenen Eigenschaften und hängt von Kapazität und der exakten geometrischen Anordnung in der Umgebung des Punktes ab. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Die Spannung besteht zwischen analytisch/potentialtheoretischen Begriffen (Kapazität, Wiener-Kriterium) und geometrischen oder maßbezogenen Begriffen (Länge, Fläche, Hausdorff-Dimension); Dünnheit ist eine verfeinerte lokale smallness im potentialtheoretischen Sinn, die nicht mit gewöhnlichen Maßmetriken übereinstimmen muss. ## Synthese Synthese Eine dünne Menge ist eine Menge, die an einem Punkt an potentialtheoretischer Dicke fehlt (sie erfüllt kein Wiener-ähnliches Kriterium) und so Randirregularitäten für harmonische Funktionen ermöglicht; sie spiegelt eher einen lokalen Kapazitätsmangel als bloße Maß- oder Topologiekleinheit wider.