##  [Nicht-Collarbare Mannigfaltigkeit](/de/node/63231) 

 Definition

Eine Mannigfaltigkeit mit Rand M, für die es keine Umgebung U des Randes ∂M gibt, die homöomorph zu dem Produkt ∂M × [0,1) ist; mit anderen Worten, ∂M besitzt keinen «Collar» und der Rand hat keine Produktumgebung.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Collarbarkeit bedeutet, dass der Rand mit einer Produktstruktur in der Mannigfaltigkeit liegt; das Versagen der Collarbarkeit zeigt an, dass lokale Produktkarten am Rand nicht kohärent gewählt werden können, wodurch Standardkonstruktionen, die eine Verdickung oder Parametrisierung des Randes benötigen, scheitern.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand, bei der die Umgebungen des Randes durch 'wilde' Einbettungen konstruiert sind (etwa mittels verschachtelter Verknüpfungen), kann keine Homöomorphie besitzen, die eine Umgebung als ∂M × [0,1) darstellt, und liefert so ein konkretes nicht-collarbares Beispiel.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu unterstellen, jede topologische Mannigfaltigkeit mit Rand habe einen Collar, und collarabhängige Argumente (wie das Verdoppeln der Mannigfaltigkeit oder das Verwenden von Collar-Umgebungen zum Verkleben) anzuwenden, ohne Collarbarkeit zu prüfen; dies führt zu ungültigen Konstruktionen, wenn der Rand nicht collarbar ist.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ist eine Mannigfaltigkeit nicht-collarbar, so versagen Techniken, die auf der Erweiterung von Strukturen vom Rand ins Innere oder auf Zerlegungen mittels Produktumgebungen beruhen; dies betrifft die Existenz bestimmter Isotopien, Röhrengebietssätze am Rand und übliche Verklebeverfahren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Collarbare Mannigfaltigkeit: eine Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Umgebung des Randes besitzt, die homöomorph zu ∂M × [0,1) ist, was Randparametrisierung und Standardkonstruktionen mit Collar erlaubt.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Betrifft hauptsächlich topologische (und teilweise PL-) Mannigfaltigkeiten mit Rand; in der glatten Kategorie ist die Existenz eines Collars durch klassische Sätze gesichert, weshalb nicht-collarbare Phänomene vornehmlich topologischer Natur und von Einbettungspathologien abhängig sind.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Die Spannung besteht zwischen topologischer Pathologie (wilde Einbettungen und Versagen der Produktstruktur) und kategorischer Regularität (in glatten oder PL-Kategorien existieren Collars meist); beim Gebrauch von Collar-Argumenten ist Kategorie und Einbettungsregularität zu unterscheiden.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine nicht-collarbare Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand, deren Rand kein Nachbarschaft besitzt, die homöomorph zu einem Produkt mit einem Intervall ist; dieses lokale Versagen der Produktstruktur am Rand verhindert Standardkonstruktionen, die einen Collar voraussetzen.