## [Nichtmannigfaltiger Punkt](/de/node/63229) Definition Ein Punkt x in einem topologischen Raum X, für den keine Umgebung von x homöomorph zu einem euklidischen Raum R^n (oder einem Halbraum R^n_+) einer festen Dimension ist; gleichbedeutend ist x ein lokales Versagen der Mannigfaltigkeitsstruktur und kann nicht durch ein einziges konsistentes lokales Kartenmodell beschrieben werden. ## Prinzip Prinzip Eine Mannigfaltigkeit verlangt einheitliche lokale euklidische (oder halb-euklidische für Randpunkte) Umgebungen; ein nichtmannigfaltiger Punkt verletzt diese Lokaluniformität und verhindert so die Existenz eines Atlas, der X zu einer Mannigfaltigkeit macht. ## Demonstration Demonstration Die Spitze eines zweidimensionalen Kegels ist ein nichtmannigfaltiger Punkt, betrachtet als Teilraum von R^3: Jede Umgebung der Spitze ist homöomorph zu einer kegelartigen Umgebung, nicht zu einer offenen Scheibe in R^2, daher existiert dort keine 2-dimensionale Karte. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Jede isolierte Singularität oder Verzweigungsstelle automatisch als Mannigfaltigkeitspunkt zu bezeichnen, weil sie in einer ansonsten mannigfaltigen Menge liegt; fälschlicherweise eine Scheitelstelle eines im Ebenen eingelegten Graphen als Mannigfaltigkeitspunkt zu behandeln und darauf Mannigfaltigkeitssätze anzuwenden. ## Konsequenz Konsequenz Topologische und differenzierbare Werkzeuge, die auf lokaler euklidischer Struktur beruhen, versagen an diesem Punkt: Es gibt keine lokale Koordinate, übliche Invarianten wie Tangentialräume sind nicht definiert, und mannigfaltigkeitsspezifische Klassifikations- oder Erweiterungssätze gelten nicht. ## Umkehrung Umkehrung Mannigfaltigkeitspunkt: ein Punkt, der eine Umgebung besitzt, die homöomorph zu R^n (oder R^n_+ für Randpunkte) ist und damit lokale Karten und das übliche Mannigfaltigkeitswesen unterstützt. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Punkte in allgemeinen topologischen Räumen oder Teilmengen euklidischer Räume; schließt Punkte aus, die irgendeine euklidische oder halb-euklidische Umgebung besitzen. Bestimmt nicht allein globale Pfadologien oder Singularitätstypen über das lokale Ausfallverhalten hinaus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Die Spannung besteht zwischen 'Singularität' als geometrischer oder analytischer Unregelmäßigkeit und 'Nichtmannigfaltigkeit' als rein topologischem Fehlen lokaler euklidischer Karten; manche analytischen Singularitäten sind topologisch Mannigfaltigkeitspunkte, und manche nichtmannigfaltigen Punkte lassen sich analytisch mild beschreiben. ## Synthese Synthese Ein nichtmannigfaltiger Punkt ist ein lokales Hindernis für Mannigfaltigkeitsstruktur: Seine Umgebungen lassen sich nicht als euklidische Räume einer festen Dimension modellieren, weshalb lokal kartenbasierte Mannigfaltigkeitstheorie nicht anwendbar ist.