## [Zugänglicher Punkt](/de/node/63220) Definition Ein Randpunkt x einer Menge D (typischerweise eine offene zusammenhängende Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raums), für den eine stetige injektive Abbildung γ : [0,1] → D mit γ(0) in D und γ(1) = x existiert, also x das Endpunkt in der Abschlussmenge von D eines einfachen Bogens ist, der vollständig in D liegt. ## Prinzip Prinzip Zugänglichkeit ist die Eigenschaft, als Grenzwert eines einfachen Weges aus dem Inneren realisierbar zu sein; sie ist durch die Existenz eines stetigen, im Gebiet liegenden Bogens charakterisiert, der in diesem Punkt endet. ## Demonstration Demonstration In der Einheitskreisscheibe in der Ebene ist jedes radiale Segment t ↦ (1−t)z für einen festen Randpunkt z ∈ S^1 ein stetiger Bogen in der Scheibe, der in z endet; daher ist jeder Randpunkt der Scheibe über ein radiales Segment zugänglich. Dagegen kann in einer gespaltenen Ebene oder bei einer nach innen windenden Spirale die Spitze nicht zugänglich sein. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Alle Häufungspunkte oder Randpunkte von D als zugänglich zu behandeln; ein Häufungspunkt von D muss nicht der Endpunkt eines einfachen Bogens aus D sein, daher ist die Gleichsetzung von Abschluss und Zugänglichkeit falsch. ## Konsequenz Konsequenz Ist ein Randpunkt zugänglich, so lassen sich Randwerte von auf D definierten Funktionen oft durch folgen des Bogens interpretieren; in der Funktionentheorie unterstützt dies die Bestimmung von Randwerten entlang Kurven und die Zuordnung zu Prime Ends. ## Umkehrung Umkehrung Das konzeptionelle Gegenteil ist ein unzugänglicher Punkt, ein Randpunkt, der nicht Endpunkt irgendeines in D liegenden stetigen Bogens sein kann; Zugänglichkeit und Unzugänglichkeit trennen mögliche einfache Kurvenanäherungen. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition setzt einen metrischen Raum oder zumindest ein Gebiet voraus, in dem Bögen Sinn machen; in allgemeineren topologischen Räumen ohne Bogenbegriff oder bei nicht zusammenhängenden Mengen ist der Begriff möglicherweise nicht anwendbar oder muss angepasst werden. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Zugänglichkeit steht im Spannungsverhältnis zu Annäherungen durch Folgen oder nicht-einfache Kurven: Ein Punkt kann durch Folgen aus D erreichbar sein, ohne durch irgendeinen einfachen Bogen erreichbar zu sein, wodurch sequenzielle und wegbezogene Begriffe konkurrieren. ## Synthese Synthese Ein zugänglicher Punkt ist ein Randpunkt eines Gebietes, der durch einen einfachen stetigen Weg aus dem Innern des Gebietes erreicht werden kann; dies ist eine topologische Feinheit, die über der bloßen Zugehörigkeit zum Abschluss liegt.