##  [Satz von Jordan–Brouwer](/de/node/63166) 

 Definition

Eine Verallgemeinerung des Jordan‑Kurvensatzes: Eine Einbettung einer (n−1)-Sphäre S^{n−1} in den euklidischen Raum R^n trennt R^n in genau zwei komplementäre Gebietsteile, einen beschränkten ('innen') und einen unbeschränkten ('außen'), wobei die eingebettete Sphäre deren gemeinsame Grenze ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Codimension‑eins geschlossene eingebettete Sphären im euklidischen Raum bewirken topologische Trennung: Eine (n−1)-Sphäre eingebettet in R^n teilt den umgebenden Raum in zwei Komponenten aufgrund von Orientierbarkeit und der codimension‑eins‑Natur der Einbettung, sodass Innen und Außen wohldefiniert sind.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für n=3 begrenzt eine eingebettete 2‑Sphäre in R^3 eine beschränkte Region (eine 3‑Kugel) und ein unbeschränktes Äußeres; Alexander‑Dualität oder Grad‑Argumente in der algebraischen Topologie formalisieren diese Trennung für allgemeines n, indem sie die reduzierte Homologie des Komplements mit der Homologie der Sphäre in Beziehung setzen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Den Satz so zu missverstehen, dass er auf beliebige geschlossene (n−1)-Mannigfaltigkeiten in R^n anwendbar sei; die Trennungsfolge hängt davon ab, dass die eingebettete Mannigfaltigkeit eine Sphäre ist (d. h. die Homologie/den Typ von S^{n−1} hat). Einbettungen mit komplizierter Topologie oder nicht‑sphärischer Homologie trennen möglicherweise nicht in genau zwei komplementäre Bereiche wie behauptet.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet ein fundamentales Werkzeug zum Verständnis von Einbettungs‑Topologie in Codimension eins und bildet die Grundlage vieler Klassifikations‑ und Dualitätsresultate; es stellt sicher, dass Standardsphären eine einzelne beschränkte 'Innen'-Komponente als Grenze haben, die in Zerlegungs- und Chirurgieargumenten verwendet wird.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung ist allgemein falsch: Eine trennende eingebettete geschlossene Hypersurface muss nicht homöomorph zu einer (n−1)-Sphäre sein. Außerdem können nicht eingebettete oder singuläre Mengen mit Sphärenhomologie anders als erwartet trennen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Einbettungen von S^{n−1} als glatte, PL‑ oder topologische Einbettungen in R^n unter den üblichen Voraussetzungen; schließt nicht eingebettete Bilder, immersierte Sphären mit Selbstschnitten und Einbettungen höherer Codimension aus, bei denen das Trennungsverhalten abweicht.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen homologischen/topologischen Kriterien (Alexander‑Dualität) und geometrischer Intuition: Manche Mengen mit sphärischer Homologie verhalten sich trennend wie Sphären, andere benötigen stärkere Tameness‑Hypothesen; Spannung auch zwischen der Besonderheit von Codimension eins und dem Versagen in höheren Codimensionen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Der Jordan–Brouwer‑Satz erweitert Jordans Trennung auf höhere Dimensionen: Eine topologisch eingebettete (n−1)-Sphäre in R^n teilt den Raum in genau zwei Komponenten — ein beschränktes Innen und ein unbeschränktes Außen — und macht solche Sphäreneinbettungen zu kanonischen Grenzen für beschränkte Gebiete und zentralen Objekten in Dualitäts‑ und Zerlegungsargumenten.