##  [Netzwerkgewicht](/de/node/63134) 

 Definition

Das Netzwerkgewicht Nw(X) eines Raums X ist die kleinste Kardinalität eines Netzwerks für X: eine Familie N von Teilmengen von X derart, dass für jede offene Menge U und jeden Punkt x∈U ein N∈N existiert mit x∈N⊆U (äquivalent: jede offene Menge ist Vereinigung von in ihr enthaltenen Elementen von N).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Das Netzwerkgewicht misst, wie klein eine Familie von Regionen sein kann, die dennoch jede offene Menge lokal verfeinert; ein Netzwerk muss nicht aus offenen Mengen bestehen und braucht nicht unter Vereinigungen abgeschlossen zu sein, es muss aber lokale Nachbarschaften nachweisen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In jedem zweitzählbaren Raum gilt Nw(X)=ℵ0, da eine abzählbare Basis auch ein abzählbares Netzwerk ist. Für einen diskreten Raum der Kardinalität κ ist die Familie der Singletons ein Netzwerk, also Nw(X)=κ.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Eine Familie zu verwenden, die nur jedes offene U berührt, ohne die Einschlussbedingung zu erfüllen, verwechselt Netzwerk mit π-Netzwerk; Netzwerke als zwingend offen oder als Basen zu behandeln führt zu überstarken Anforderungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Kleines Netzwerkgewicht kontrolliert stetige Bilder und einige Überdeckungseigenschaften; zusammen mit weiteren Hypothesen kann es zu Separabilitäts- oder Lindelöf-ähnlichen Folgerungen führen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Fordert man, dass jede offene Menge Vereinigung von Basiselementen ist (statt nur lokal bezeugt zu werden), erhält man das gewöhnliche Gewicht w(X); die lokale Einschlussforderung zu entfernen schwächt zur π-Kardinalität ab.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für topologische Räume; Netzwerke können beliebige Teilmengen enthalten (nicht notwendigerweise offen), daher schließt Nw(X) Invarianten aus, die offene Basen oder algebraische Strukturen verlangen, sofern diese nicht als Netzwerke fungieren.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Das Netzwerkgewicht steht zwischen Π-Gewicht und gewöhnlichem Gewicht: Netzwerke geben stärkere lokale Kontrolle als π-Netzwerke, sind aber schwächer als Basen. Vermischung dieser Begriffe führt zu unterschiedlichen kardinalen Invarianten.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das Netzwerkgewicht ist die minimale Größe einer Familie von Teilmengen, die für jedes offene U lokale Nachbarschaften nachweist; es bildet eine mittlere Stärke der Überdeckungsinformation zwischen π-Netzwerken und Basen ab.