##  [Engkeit](/de/node/63124) 

 Definition

Die kleinste Kardinalzahl κ, so dass für jede Teilmenge A eines Raumes und jeden Punkt x in cls(A) eine Teilmenge B⊆A mit |B|≤κ existiert und x in cls(B) liegt; dieses Invarinat misst, wie Abschlüsse durch kleine Teilmengen kontrolliert werden, bezeichnet mit t(X) oder T(X).

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Beschreibt, wie eng Häufungspunkte von kleinen Untermengen abhängen: geringe Engkeit bedeutet, dass Abschlüsse durch kleine Stücke bestimmt werden, und verbindet punktweises Abschlussverhalten mit kardinalen Beschränkungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In erstabzählbaren Räumen ist die Engkeit ℵ0, da der Abschluss an einem Punkt durch Folgen (abzählbare Mengen) bestimmt wird; in einem Raum mit der kofinalen Topologie auf einer überabzählbaren Menge ist die Engkeit 1, denn ein Punkt in cls(A) gehört entweder zu A oder jede kofinale Umgebung enthält ihn, also genügt ein Singleton.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu glauben, geringe Engkeit impliziere Metrisierbarkeit oder Erstabzählbarkeit, ist falsch; Engkeit ist nur eine von mehreren Bedingungen und garantiert nicht allein das Vorhandensein abzählbarer lokaler Basen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Eine Beschränkung der Engkeit liefert kardinale Kontrollen für Abschlüsse und beeinflusst vererbbare Eigenschaften: Räume mit geringer Engkeit erlauben oft Reduktionsargumente, die große Mengen durch kleine Zeugen ersetzen, wenn Abschlussfragen geprüft werden.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Umkehr betrachtet Räume, deren Abschlüsse beliebig große Teilmengen zum Nachweis benötigen — hohe Engkeit zeigt ein schwaches lokales Kontrollvermögen durch kleine Mengen an.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für beliebige topologische Räume und bezieht sich auf Abschlüsse relativ zu beliebigen Teilmengen; sie gibt nicht direkt vor, welche Arten von Folgen oder Netzen nötig sind, und unterscheidet sich von Begriffen wie Sequenzialität oder der Fréchet–Urysohn-Eigenschaft.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Engkeit steht nahe bei sequentiellem Verhalten und der Fréchet–Urysohn-Eigenschaft, unterscheidet sich aber: sequentielle Räume beziehen Abschlüsse konkret auf Folgen, während Engkeit die kardinale Größe von Zeugen quantifiziert, ohne deren Form festzulegen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Engkeit misst die minimale kardinale Größe der Zeugen, die nötig sind, um Abschlüsse an Punkten zu bestimmen: sie erfasst, wie Zugehörigkeit zum Abschluss auf kleine Teilmengen reduziert werden kann und steht in Wechselwirkung mit anderen lokalen und vererbbaren topologischen Eigenschaften.