## [Homotopieäquivalenz](/de/node/63100) Definition Eine stetige Abbildung f: X → Y heißt Homotopieäquivalenz, wenn es eine stetige g: Y → X gibt mit g ∘ f homotop zu id_X und f ∘ g homotop zu id_Y; dann sagt man, X und Y haben denselben Homotopietyp. ## Prinzip Prinzip Das 'Gleichsein' von Räumen im Sinne kontinuierlicher Verformung statt Homöomorphie erfassen: eine Homotopieinverse zeigt, dass zwei Räume für homotopietheoretische Zwecke äquivalente Abbildungs‑Verhaltensweisen besitzen. ## Demonstration Demonstration Ein Deformationsretrakt r: X → A (mit Inklusion i: A → X) liefert i ∘ r homotop zu id_X und r ∘ i = id_A, sodass die Inklusion eines Deformationsretraktors eine Homotopieäquivalenz ist; z. B. ist ein CW‑Komplex oft homotopieäquivalent zu einem Unterkomplex, der Retrakt ist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Homotopieäquivalenz mit schwacher Homotopieäquivalenz verwechseln (letztere erfordert nur Isomorphismen auf allen Homotopiegruppen) oder mit Homologieäquivalenz; eine schwache Äquivalenz besitzt nicht notwendigerweise eine echte Homotopieinverse ohne zusätzliche Voraussetzungen (CW, einfache Räume, Whitehead‑Theorem‑Bedingungen). ## Konsequenz Konsequenz Homotopieäquivalente Räume haben isomorphe Homotopiegruppen, unter milden Voraussetzungen isomorphe singuläre Kohomologie‑Ringe, und können in der Homotopietheorie und vielen Klassifikationsaufgaben austauschbar verwendet werden; Rechnungen lassen sich entlang der Äquivalenz übertragen. ## Umkehrung Umkehrung Lässt man die Forderung nach Homotopieinversen fallen, erhält man schwächere Begriffe (schwache Homotopieäquivalenz, Homologieäquivalenz) mit weniger Erhalt von Information; verlangt man Homöomorphie oder Diffeomorphie, so erhält man eine strengere, geometrisch rigide Relation. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Definition setzt die Existenz stetiger Homotopieinversen voraus; in der Praxis beschränkt man sich oft auf wohlverhaltende Kategorien (CW‑Komplexe, kompakt erzeugte Hausdorffräume), um Pathologien zu vermeiden. Whiteheads Theorem verbindet schwache Homotopieäquivalenzen mit echten Homotopieäquivalenzen unter CW‑Bedingungen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Hauptsächliche Spannung besteht zwischen Homotopieäquivalenz und schwacher Homotopieäquivalenz: in vielen praktischen Kategorien stimmen sie überein, allgemein aber nicht; außerdem besteht Spannung zu Homöomorphie (stärker) und Homologieäquivalenz (schwächer). ## Synthese Synthese Die Homotopieäquivalenz ist die präzise Begrifflichkeit dafür, dass zwei Räume homotopietheoretisch gleich sind: das Vorhandensein zueinander inverser Abbildungen bis auf Homotopie sichert den Transfer von Homotopieinvarianten und erlaubt das Ersetzen komplizierter Räume durch einfachere Modelle, sofern man in einer geeigneten topologischen Kategorie arbeitet.