##  [Offene Menge](/de/node/63075) 

 Definition

Eine Teilmenge U eines topologischen Raums (X, τ), die zur Topologie τ gehört; äquivalent: für jeden Punkt x in U existiert eine Umgebung (ein offenes τ-Element), die in U enthalten ist.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Offene Mengen sind die Bausteine einer Topologie: beliebige Vereinigungen und endliche Schnitte offener Mengen sind offen, und sowohl die leere Menge als auch der Gesamtraum sind offen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In einem metrischen Raum ist eine offene Menge eine Vereinigung offener Kugeln; zum Beispiel ist das offene Intervall (0,1) auf der reellen Zahlengerade mit der üblichen Topologie offen, da jeder Punkt eine hinreichend kleine Kugel besitzt, die in (0,1) liegt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jede Teilmenge ohne Bezug auf die Topologie als offen anzunehmen (z. B. zu behaupten, ein Einzelpunkt sei in der Standard-Euklidischen Linie offen) oder Offenheit mit Nichtvorhandensein einer Randmenge zu verwechseln; das führt zu falschen Aussagen über Stetigkeit oder Häufungspunkte.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Offenheit charakterisiert Stetigkeit (Urbilder offener Mengen sind offen), Nachbarschaftssysteme, Innenoperationen und das lokale Verhalten von Abbildungen; viele topologische Invarianten und Trennungseigenschaften werden mit offenen Mengen formuliert.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die duale Betrachtung ist die der abgeschlossenen Menge (Komplement einer offenen Menge); ausschließlich mit abgeschlossenen Mengen zu arbeiten ist äquivalent, verschiebt aber die Perspektive zu Grenzen und Abschlüssen statt zu Nachbarschaften und Innerem.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Hängt vollständig von der gewählten Topologie ab; eine Menge kann in einer Topologie offen sein und in einer anderen nicht. Das Konzept schließt Aussagen über Maß, Differenzierbarkeit oder algebraische Struktur aus, sofern die Topologie diese nicht impliziert.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zur abgeschlossenen Menge und zu Begriffen wie Messbarkeit oder Dichte; die Spannung liegt in der Gegenüberstellung lokaler (Nachbarschaft/Inneres) Beschreibungen durch offene Mengen und globaler Beschreibungen durch Abschlüsse.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine offene Menge ist ein Topologie-Element, dessen Punkte Nachbarschaften besitzen, die in ihm liegen; sie bildet die lokale/Neighbourhood-Beschreibung, die durch Vereinigungen und endliche Schnitte die topologische Struktur erzeugt und Stetigkeit sowie Innere Operationen trägt.