## [Höhere Verzweigungsgruppe](/de/node/63041) Definition Einer der sukzessiven Untergruppen in der Verzweigungsfiltration der Galoisgruppe einer endlichen galoisschen Erweiterung lokaler Körper, indiziert entweder durch Ganzzahlen (untere Nummerierung) oder durch reelle Zahlen mittels der oberen Nummerierung; diese Untergruppen messen verfeinerte Ebenen wilder Verzweigung jenseits von Inertie und tamem Quotienten. ## Prinzip Prinzip Die Verzweigungsfiltration schichtet die Galoisgruppe danach, wie ihre Elemente auf höheren Einheitengruppen und auf sukzessiven Quotienten des Bewertungsrings wirken: höhere Verzweigungsgruppen bestehen aus Automorphismen, die modulo immer höherer Potenzen des maximalen Ideals trivial wirken, und ihre Sprünge quantifizieren die Tiefe der wilden Verzweigung. ## Demonstration Demonstration Für eine total verzweigte zyklische p-Erweiterung eines lokalen Körpers berechnet man nichttriviale höhere Verzweigungsgruppen G^i für i≥1, und die oberen Nummerierungssprünge stehen in Beziehung zum Leiter und dem Swan-Leiter von zugehörigen Darstellungen; explizite lokale Rechnungen zeigen unterschiedliches Verhalten im tamenen gegenüber dem wilden Fall und liefern die Herbrand-Funktion, die obere und untere Nummerierung verbindet. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die obere und untere Nummerierung zu verwechseln oder die Filtration zu benutzen, ohne die Herbrand-Funktion beim Übergang anzuwenden; das Ignorieren wilder Verzweigung durch Beschränkung auf Inertie und tame Quotienten übergeht wesentliche Beiträge zu Leitern und lokalen Galoisdarstellungen. ## Konsequenz Konsequenz Höhere Verzweigungsgruppen steuern Invarianten wie die Diskriminante, Artin- und Swan-Leiter sowie die Struktur lokaler Galoisdarstellungen; ihr Verhalten beeinflusst globale Phänomene durch lokale Beiträge zu Leitern und zur Arithmetik von Erweiterungen. ## Umkehrung Umkehrung Die komplementäre Vorstellung ist der tame Quotient und die Inertie-Untergruppe: Durch Quotientieren nach den höheren Verzweigungsgruppen erhält man den tamem Anteil der Inertie, der nur tam geprägtes Verhalten erfasst und wilde Höherordnungsphänomene verwirft. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für endliche galoissche Erweiterungen lokaler Körper (vollständige diskret bewertete Körper mit perfektem Restklörper) und für ihre Zersetzungsgruppen innerhalb globaler Galoisgruppen; das Konzept gilt nicht unmittelbar für nicht-galoissche Erweiterungen ohne Überführung in eine galoissche Hülle noch für Gruppen, die auf Objekten ohne valuations-theoretische Filtration wirken. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen der unteren Nummerierung (ganzzahlig, konkrete Beschreibung) und der oberen Nummerierung (reell indiziert, quotientenstabil), die in vielen Sätzen bevorzugt wird; dies erzeugt Feinheiten beim Vergleich von Verzweigungsdaten zwischen Erweiterungen und in Darstellungstheoretischen Formeln. ## Synthese Synthese Höhere Verzweigungsgruppen bilden eine Filtration der Galoisgruppe nach der Tiefe der Wirkung auf sukzessive Einheitenquotienten; sie quantifizieren wilde Verzweigung durch Sprünge und Nummerierungen, bestimmen Leiter und Diskriminanten und übersetzen damit verfeinertes lokales Ramifikationsverhalten in arithmetische Invarianten.